Метод координат в пространстве

Метод координат применяется для решения стереометрических задач. Если удобно поставить геометрическое тело в систему координат в пространстве, то можно представить грани, ребра, элементы этого тела через векторы. Тогда можно решить задачу в обход стандартному подходу. Также этот метод можно применять для доказательства теорем или нахождения признаков.

Каждый вектор в пространстве имеет три координаты, разложенные по осям \(Ox,\ Oy\) и \(\text{Oz}\):

\(\overrightarrow{a}\left\{ xi;yj;zk \right\}\)

ТЕЛА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ:

Взаимная перпендикулярность осей системы координат позволяет нам просто расположить в ней прямоугольные геометрические тела. Для того, чтобы сделать это верно, не нужно доказывать перпендикулярность осей – это аксиома.

Например, поставим в прямоугольную систему координат куб со стороной \(a = 2\). Мы знаем, что ты ребра куба, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны (как и оси системы координат), тогда пусть одна из вершин куба находится в точке \(O(0;0)\) так, чтобы каждая точка куба имела положительные координаты:

Таким образом, стороны \(DA,\ DC\) и \(DD_{1}\) лежат на осях \(Ox,\ Oy\) и \(\text{Oz}\) соответственно, при этом каждая из этих сторон равна\(\ 2\). Если точка \(D\) имеет координаты \(\left( 0;0 \right)\), а все остальные вершины куба имеют положительные координаты, тогда координаты точек \(A,\ C\) и \(D_{1}\) следующие:

\(A\left( 2;0;0 \right)\)

\(C\left( 0;2;0 \right)\)

\(D_{1}(0;0;2)\)

Мы знаем координаты четырёх точек куба. Нужно найти еще четыре. При этом оставшиеся точки \(A_{1},\ C_{1},B\) и \(B_{1}\).

Рассмотрим сторону куба \(AA_{1}D_{1}D\). Она находится в плоскости \(\text{Oxz}\).

Из вершин этой стороны мы не знаем только координаты точки \(A_{1}\):

Мы видим, что точка \(A_{1}\) имеет такую же координату \(x\), как у точки \(A\) и такую же координату \(z\), как у точки \(D_{1}\). Координата \(y = 0\) у каждой точки, лежащей в этой плоскости:

Аналогично будем представлять плоскости, которые содержат другие точки с неизвестными координатами. Рассмотрим плоскость \(\text{Oxy}\). Точка \(B\) будет иметь координату \(x\), как у точки \(A\) и координату \(y\) как у точки \(C\), координата \(z = 0\):

И рассмотрим плоскость \(\text{Oy}z\). Точка \(C_{1}\) будет иметь координату \(y\) как у точки \(C\) и координату \(z\) как у точки \(D_{1}\). Координата \(x = 0\):

Точка \(B_{1}\) ни в одной плоскости, включающей в себя пересекающиеся оси. Но аналогично мы можем увидеть, что координаты \(x,\ y\) и \(z\) соответственно равны координатам точек \(A,\ C\) и \(C_{1}\):

Таким образом мы знаем координаты каждой вершины геометрического тела. Зная это, мы можем найти методом координат:

• Расстояние между вершинами;

• Координаты середины отрезка;

• Расстояние между вершиной и серединой отрезка (медиану);

• Расстояние между точкой и прямой (высоту);

• Расстояние между прямыми;

• Расстояние между плоскостью и прямой;

• Угол между прямыми;

• Площадь поверхности.

В общем можно заменить большинство формул, теорем и методов решения стереометрических задач методом координат в пространстве при условии верной постановки геометрического тела в систему координат.

В высшей математике часто именно методом координат решаются сложные задачи по нахождению расстояний, углов, площадей и прочих характеристик.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ И КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА:

1. Расстояние между точками:

Расстояние между двумя точками с координатами \(A\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right),\ B\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right)\) будет находиться как:

Например:

\(A\left( 4, - 2;5 \right)\)

\(B\left( - 1;0;4 \right)\)

\(\overrightarrow{\left| \text{AB} \right|} = \sqrt{\left( - 1 - 4 \right)^{2} + \left( 0 + 2 \right)^{2} + \left( 4 - 5 \right)^{2}} = \sqrt{{( - 5)}^{2} + 2^{2} + {( - 1)}^{2}} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}\)

2. Координаты середины отрезка:

Координаты точки \(M\), которая является серединой отрезка с концами в точках \(A\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right)\), \(B\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right),\ \)будет находиться как:

Например:

\(A\left( 2;0; - 1 \right)\)

\(B\left( - 1;3;2 \right)\)

\(M(\frac{1}{2}\left( 2 - 1 \right);\frac{1}{2}\left( 0 + 3 \right);\frac{1}{2}( - 1 + 2)) \Longrightarrow M(0,5;1,5;0,5)\)

В прямоугольном параллелепипеде \(\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) \(AB = 2\), \(AD = 1\), \(AA_{1} = 3\). Найдите \(DM,\) где \(M\) – середина между отрезка \(AC_{1}\).

1. Сначала впишем параллелепипед в координатное пространство. Расположим точку \(A\) в начало координат. Тогда обозначим координаты точек следующим образом:

2. Вопрос задачи состоит в поиске расстояния между двумя точками – \(D\) и \(M\). Для этого нужно знать координаты этих точек. Координаты точки \(\text{D\ }\)мы уже знаем по условию. Тогда найдем координаты точки \(M\). Эта точка является серединой отрезка \(AC_{1}\), координаты которого нам тоже известны. Тогда найдем координаты точки \(M\) по формуле:

\(M(\frac{1}{2}\left( 0 + 1 \right);\frac{1}{2}\left( 0 + 2 \right);\frac{1}{2}(0 + 3)) \Longrightarrow M(0,5;1;1,5)\)

3. Теперь найдем расстояние \(AC_{1}\):

\(\left| \overrightarrow{\text{DM}} \right| = \sqrt{\left( 1 - 1,5 \right)^{2} + \left( 0 - 1 \right)^{2} + \left( 0 - 1,5 \right)^{2}} = \sqrt{{( - 0,5)}^{2} + {( - 1)}^{2} + {( - 1,5)}^{2}} = \sqrt{0,25 + 1 + 2,25} = \sqrt{3,5}\)

Число получилось иррациональным. Решение подобных задач напрямую, «стандартным» способом, может вызвать много трудностей, однако при решении методом координат мы работаем с простыми числами, зная всего две формулы.

Ответ: \(\sqrt{3,5}\).

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

1. Угол между векторами можно определить, если оба вектора выходят из одной точки. Тогда, если представить векторы как отрезки, то угол будет иметь своё стандартное определение – будет состоять из вершины и двух сторон:

\(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = \alpha\)

Угол между сонаправленными векторами равен 0⁰

\(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\)

\(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = 0{^\circ}\)

Угол между противоположно направленными векторами равен 180⁰.

\(\overrightarrow{c} \uparrow \downarrow \overrightarrow{d}\)

\(\widehat{\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}} = 180{^\circ}\)

2. Скалярное произведение векторов можно найти двумя способами:

• Это произведение длин векторов на косинус угла между ними.

\(\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}\)

Если угол между векторами равен 90⁰, то векторы перпендикулярны, а их скалярное произведение равно 0:

\(\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos 90{^\circ} =\)

\(\left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet 0 = 0\)

Таким образом если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

• Это сумма произведений соответствующих координат:

\(\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1};z_{1} \right\}\)

\(\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2};z_{2} \right\}\)

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\)

3. Косинус угла между векторами.

Зная две формулы скалярного произведения векторов, выразим косинус угла между ними:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}\)

\(\cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|}\)

Представим скалярное произведение и модули векторов через координаты, получим:

Таким образом, зная координаты двух векторов, можно найти косинус угла между ними, а значит, выразить и сам угол.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ:

Уравнение прямой можно задать двумя способами.

Чтобы понять, что такое уравнение прямой, нужно для начала рассмотреть понятие направляющего вектора прямой.

\(\overrightarrow{a}\mathbf{- направляющий\ вектор\ прямой\ }a\)

То есть мы можем заменить любую прямую на её направляющий вектор и рассматривать эту прямую уже через метод координат.

Найдите угол между прямыми \(a\) и \(b\), если их направляющие векторы соответственно равны

\(\overrightarrow{m}\left\{ 2;4;0 \right\}\)

\(\overrightarrow{n}\left\{ 3;1; - 2 \right\}\)

1. Если нам известны направляющие векторы, то угол между ними будет равен углу между прямыми. Зная координаты направляющих векторов, найдем косинус угла между ними:

\(\cos\widehat{\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}} = \frac{2 \bullet 3 + 4 \bullet 1 + 0 \bullet ( - 2)}{\sqrt{4 + 16 + 0} \bullet \sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{6 + 4}{\sqrt{20} \bullet \sqrt{14}} = \frac{10}{\sqrt{280}} = \frac{10}{2\sqrt{70}} = \frac{5\sqrt{70}}{70} = \frac{\sqrt{70}}{14}\)

2. Данный косинус принимает не табличные значения, значит выразим угол через арккосинус:

\(\widehat{\text{ab}} = \widehat{\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}} = \arccos\frac{\sqrt{70}}{14}\)

Так мы нашли угол между прямыми, сделав через их направляющие переход к методу координат.

Ответ: \(\arccos\frac{\sqrt{70}}{14}\).

1. КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ:

Такой вид уравнения прямой позволяет по трем координатам понять принадлежность точки к этой прямой. Само уравнение имеет такой вид:

где \(x,\ y,\ z\) – это переменные,

\(x_{0},\ y_{0},\ z_{0}\) – координаты любой точки, принадлежащей данной прямой,

\(\ x_{p},y_{p},z_{p}\) - координаты направляющего вектора \(\overrightarrow{p}\) это прямой.

Это уравнение описывает любую прямую в пространстве по её направляющей и любой точке, через которую она проходит.

Составьте уравнение прямой, если известно, что ей принадлежит точка \(K(2; - 3;0)\), а направляющим вектором этой прямой является вектор \(\overrightarrow{p}\left\{ 5;4;1 \right\}\)

1. Подставим в формулу уравнения прямой все известные данные, получим:

\(\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z}{1}\)

Если в одном из знаменателей уравнения прямой стоит единица, то такую дробь НЕ нужно сокращать. Оставляем её в таком же виде.

Проверка

Чтобы проверить, проходит ли какая-либо точка через данную прямую, нужно вместо переменных \(x,\ y,\ z\) подставить координаты этой точки. Тождество должно соблюдаться:

\(\frac{2 - 2}{5} = \frac{- 3 + 3}{4} = \frac{0}{1}\)

\(0 = 0 = 0\)

Значит, мы верно составили уравнение прямой.

Ответ: \(\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z}{1}\)

Определите, проходят ли точки \(A(4; - 2; - 5)\) и \(B(7;6; - 9)\) через прямую \(l\), заданную уравнением

\(\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 5}{- 2}\)

1. Подставим координаты точки \(A\) в уравнение прямой, получим:

\(\frac{4 - 1}{3} = \frac{- 2 - 4}{1} = \frac{- 5 + 5}{- 2}\)

\(1 \neq - 6 \neq 0\)

Таким образом \(A \notin l\).

2. Аналогично подставим координаты точки \(B\):

\(\frac{7 - 1}{3} = \frac{6 - 4}{1} = \frac{- 9 + 5}{- 2}\)

\(2 = 2 = 2\)

Значит \(B \in l\).

Ответ: \(A \notin l\); \(B \in l\).

2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ:

Общим уравнением прямой называют уравнение вида:

\(Ax + By + C = 0\)

где,\(\text{\ A}\), \(B\) и \(C\) – некоторые числа,

\(\text{\ A}\), \(B\) одновременно не равны нулю.

Чтобы проверить, лежит ли точка на прямой, заданной уравнением, нужно подставить координаты точки вместо \(\text{x\ }\)и \(y\). Если уравнение верно, то точка принадлежит прямой.

2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ:

Также зная уравнение прямой вида \(\text{Ax} + \text{By} + C = 0\), и координаты точки \(M(x_{0};y_{0})\), можно вычислить расстояние между этой точкой и прямой:

\(d = \frac{\left| Ax_{0} + By_{0} + C \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\)

Найдите расстояние между прямой, заданной уравнением \(3x + 4y - 6 = 0\) ,и точкой \(K( - 1;3)\).

1. Подставим коэффициенты и координаты в формулу нахождения расстояния между точкой и прямой:

\(d = \frac{\left| 3\left( - 1 \right) + 4 \bullet 3 - 6 \right|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{\left| - 3 + 12 - 6 \right|}{\sqrt{25}} = \frac{\left| 3 \right|}{5} = 0,6\)

Ответ: 0,6.

НОРМАЛЬ И УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ:

Уравнение плоскости задаётся с помощью нормали. Если представить плоскость как совокупность точек, тогда некое уравнение плоскости опишет закономерность расположения этих точек в пространстве.

Чтобы это сделать, использует понятие нормали.

Если мы знаем координаты нормали \(\overrightarrow{n}\left\{ A;B;C \right\}\) к данной плоскости, тогда её скалярное произведение с направляющим вектором \(\overrightarrow{a}\) прямой \(a\), лежащей в данной плоскости, равно нулю (по определению скалярного произведения):

\(\overrightarrow{n}\left\{ a;b;c \right\}\)

\(\overrightarrow{m}\left\{ x;y;z \right\}\)

\(\overrightarrow{m}\overrightarrow{n} = ax + by + cz = 0\)

Так как все точки этой прямой лежат в данной плоскости, тогда если какая-либо точка принадлежит этой прямой, то она принадлежит и плоскости. Значит, уравнение

\(ax + by + cz = 0\)

описывает совокупность всех точек, координаты которых являются корнями данного уравнения. Таким образом описывается плоскость, состоящая из этих точек.

Но это еще не все уравнение. Для того чтобы точно описать плоскость, в уравнение необходимо добавить свободный член, чтобы избежать такой ситуации, когда корнями уравнения всегда являются координаты начала координат, а значит начало координат принадлежит всем возможным плоскостям, что неверно. Получаем полное уравнение плоскости: