Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Призмы Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Единицы измерения Комбинаторика Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Экономические задачи. Кредиты Арифметическая прогрессия Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на проценты
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Логарифмические уравнения Однородные уравнения Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Показательные уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Координатная прямая
Формулы и выражения
Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Многочлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Ромб Виды треугольников Метод координат на плоскости Векторы Многоугольники Средняя линия Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Квадрат Прямые и углы на плоскости Биссектриса Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Высота Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Треугольники. Площади Трапеция Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Элементы планиметрии Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Тригонометрия в геометрии Равенство фигур Площади четырёхугольников Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы Смысл производной Функция квадратного корня Линейная функция Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Первообразная Графики тригонометрических функций Функции Правила дифференцирования Квадратичная функция Координатная плоскость Преобразование графиков функции Кусочная функция Интеграл Свойства функций
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ

ПАРАМЕТР

Аналитические методы решения

Для решения задач с параметром необходимо уметь решать различные уравнения и неравенства.

Уравнения высших степеней

  1. \(ax^{2} + bx + c = 0\) – квадратное уравнение, корни можно подобрать по теореме Виета

\(ax^{2} + bx + c = 0 \rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} \bullet x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) – уравнение третьей степени, корни можно подобрать по теореме Виета

\(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 \rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} = \frac{c}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3} = - \frac{d}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Для уравнений третьей степени корни являются делителями свободного коэффициента, поэтому решить уравнение можно подбором с последующим делением многочлена на многочлен.

Например:

\(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = 0\)

Найдем корень подбором. Делители 6: \(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6\).

Подставляем делители:

\(4 \bullet 1^{3} - 19 \bullet 1^{2} + 19 \bullet 1 + 6 = 10 \neq 0\)

\(4 \bullet \left( - 1 \right)^{3} - 19 \bullet \left( - 1 \right)^{2} + 19 \bullet \left( - 1 \right) + 6 = - 36 \neq 0\)

\(4 \bullet 2^{3} - 19 \bullet 2^{2} + 19 \bullet 2 + 6 = 0\), значит 2 – корень.

Поделим \(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6\) на \((x - 2)\):

\(- \frac{4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6}{4x^{3} - 8x^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\) \(x - 2\)
\(4x^{2} - 11x - 3\)
\(- \frac{- 11x^{2} + 19x + 6}{- 11x^{2} + 22x\ \ \ \ \ \ \ \ }\)
\(- \frac{- 3x + 6}{- 3x + 6}\)
\(0\)

Таким образом, \(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(4x^{2} - 11x - 3)\)

Разложим квадратное уравнение на множители:

\(4x^{2} - 11x - 3 = 0\)

\(D = 121 + 48 = 169\)

\(x_{1} = \frac{11 - 13}{8} = - \frac{1}{4}\) \(x_{2} = \frac{11 + 13}{8} = 3\)

Тогда: \(4x^{2} - 11x - 3 = 4\left( x + \frac{1}{4} \right)\left( x - 3 \right) = (4x + 1)(x - 3)\)

\(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(x - 3)(4x + 1)\)

После того, как разложили на множители, корни сразу же видны:

\(x_{1} = - \frac{1}{4}\) \(x_{2} = 3\); \(x_{3} = 2\)

Алгебраические методы решения

  1. Равносильные переходы:

  • Раскрытие модуля по определению

  • Возведение в квадрат иррациональных уравнений

Аналитические методы решения