Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Медиана Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Тригонометрия в геометрии Скалярное произведение векторов Средняя линия Теорема Пифагора Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Прямые и углы на плоскости Многоугольники Симметрия Виды треугольников Подобие фигур Элементы планиметрии Ромб Площадь круга и сектора круга Площади четырёхугольников Треугольники. Площади Метод координат на плоскости Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Квадрат Высота Комбинации с окружностью
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Однородные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Многочлены Свойства степеней Степени Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Призмы Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Двугранный угол Пирамиды Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей
Анализ функций
Квадратичная функция Смысл производной Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Графики тригонометрических функций Функции Кусочная функция Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Экстремумы Интеграл Свойства функций Координатная плоскость Линейная функция Функция квадратного корня
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на отношения Метод математической индукции Сложные проценты Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Комбинаторика Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Вероятность Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Координатная прямая

ПАРАМЕТР

Аналитические методы решения

Для решения задач с параметром необходимо уметь решать различные уравнения и неравенства.

Уравнения высших степеней

  1. \(ax^{2} + bx + c = 0\) – квадратное уравнение, корни можно подобрать по теореме Виета

\(ax^{2} + bx + c = 0 \rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} \bullet x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) – уравнение третьей степени, корни можно подобрать по теореме Виета

\(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 \rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} = \frac{c}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3} = - \frac{d}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Для уравнений третьей степени корни являются делителями свободного коэффициента, поэтому решить уравнение можно подбором с последующим делением многочлена на многочлен.

Например:

\(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = 0\)

Найдем корень подбором. Делители 6: \(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6\).

Подставляем делители:

\(4 \bullet 1^{3} - 19 \bullet 1^{2} + 19 \bullet 1 + 6 = 10 \neq 0\)

\(4 \bullet \left( - 1 \right)^{3} - 19 \bullet \left( - 1 \right)^{2} + 19 \bullet \left( - 1 \right) + 6 = - 36 \neq 0\)

\(4 \bullet 2^{3} - 19 \bullet 2^{2} + 19 \bullet 2 + 6 = 0\), значит 2 – корень.

Поделим \(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6\) на \((x - 2)\):

\(- \frac{4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6}{4x^{3} - 8x^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\) \(x - 2\)
\(4x^{2} - 11x - 3\)
\(- \frac{- 11x^{2} + 19x + 6}{- 11x^{2} + 22x\ \ \ \ \ \ \ \ }\)
\(- \frac{- 3x + 6}{- 3x + 6}\)
\(0\)

Таким образом, \(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(4x^{2} - 11x - 3)\)

Разложим квадратное уравнение на множители:

\(4x^{2} - 11x - 3 = 0\)

\(D = 121 + 48 = 169\)

\(x_{1} = \frac{11 - 13}{8} = - \frac{1}{4}\) \(x_{2} = \frac{11 + 13}{8} = 3\)

Тогда: \(4x^{2} - 11x - 3 = 4\left( x + \frac{1}{4} \right)\left( x - 3 \right) = (4x + 1)(x - 3)\)

\(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(x - 3)(4x + 1)\)

После того, как разложили на множители, корни сразу же видны:

\(x_{1} = - \frac{1}{4}\) \(x_{2} = 3\); \(x_{3} = 2\)

Алгебраические методы решения

  1. Равносильные переходы:

  • Раскрытие модуля по определению

  • Возведение в квадрат иррациональных уравнений

Аналитические методы решения