Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Многочлены Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Элементы планиметрии Комбинации с окружностью Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Серединный перпендикуляр Медиана Треугольники. Площади Параллелограммы Векторы Отношения в геометрии Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Движения Симметрия Высота Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Квадрат Прямоугольник Ромб Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Трапеция Средняя линия Теорема Пифагора Прямые и углы на плоскости Биссектриса Тригонометрия в геометрии Равенство фигур Окружнoсть и круг Виды треугольников
Стереометрия
Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Пирамиды Угол между плоскостями Двугранный угол Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Призмы Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей
Анализ функций
Первообразная Графики тригонометрических функций Функции Координатная плоскость Кусочная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы Интеграл Графическое применение производной Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Свойства функций Квадратичная функция Правила дифференцирования Линейная функция Смысл производной
Реальная математика
Метод математической индукции Сложные проценты Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Комбинаторика Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Геометрическая прогрессия Множества
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
Правила счёта Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Модуль

ПАРАМЕТР

Аналитические методы решения

Для решения задач с параметром необходимо уметь решать различные уравнения и неравенства.

Уравнения высших степеней

  1. \(ax^{2} + bx + c = 0\) – квадратное уравнение, корни можно подобрать по теореме Виета

\(ax^{2} + bx + c = 0 \rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} \bullet x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) – уравнение третьей степени, корни можно подобрать по теореме Виета

\(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 \rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} = \frac{c}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3} = - \frac{d}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Для уравнений третьей степени корни являются делителями свободного коэффициента, поэтому решить уравнение можно подбором с последующим делением многочлена на многочлен.

Например:

\(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = 0\)

Найдем корень подбором. Делители 6: \(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6\).

Подставляем делители:

\(4 \bullet 1^{3} - 19 \bullet 1^{2} + 19 \bullet 1 + 6 = 10 \neq 0\)

\(4 \bullet \left( - 1 \right)^{3} - 19 \bullet \left( - 1 \right)^{2} + 19 \bullet \left( - 1 \right) + 6 = - 36 \neq 0\)

\(4 \bullet 2^{3} - 19 \bullet 2^{2} + 19 \bullet 2 + 6 = 0\), значит 2 – корень.

Поделим \(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6\) на \((x - 2)\):

\(- \frac{4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6}{4x^{3} - 8x^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\) \(x - 2\)
\(4x^{2} - 11x - 3\)
\(- \frac{- 11x^{2} + 19x + 6}{- 11x^{2} + 22x\ \ \ \ \ \ \ \ }\)
\(- \frac{- 3x + 6}{- 3x + 6}\)
\(0\)

Таким образом, \(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(4x^{2} - 11x - 3)\)

Разложим квадратное уравнение на множители:

\(4x^{2} - 11x - 3 = 0\)

\(D = 121 + 48 = 169\)

\(x_{1} = \frac{11 - 13}{8} = - \frac{1}{4}\) \(x_{2} = \frac{11 + 13}{8} = 3\)

Тогда: \(4x^{2} - 11x - 3 = 4\left( x + \frac{1}{4} \right)\left( x - 3 \right) = (4x + 1)(x - 3)\)

\(4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(x - 3)(4x + 1)\)

После того, как разложили на множители, корни сразу же видны:

\(x_{1} = - \frac{1}{4}\) \(x_{2} = 3\); \(x_{3} = 2\)

Алгебраические методы решения

  1. Равносильные переходы:

  • Раскрытие модуля по определению

  • Возведение в квадрат иррациональных уравнений

Аналитические методы решения