Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Виды треугольников Прямоугольник Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Средняя линия Равенство фигур Векторы Теорема Пифагора Отношения в геометрии Треугольники. Площади Ромб Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Квадрат Биссектриса Подобие фигур Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Скалярное произведение векторов Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Многоугольники Симметрия Тригонометрия в геометрии Высота Движения Комбинации с окружностью Окружнoсть и круг
Уравнения
Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения Квадратные уравнения Линейные уравнения
Числа и действия с ними
Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Правила счёта
Формулы и выражения
Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Тела вращения Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Угол между плоскостями Призмы
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Квадратичная функция Смысл производной Преобразование графиков функции Кусочная функция Первообразная Функция квадратного корня Свойства функций Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования Координатная плоскость Взаимное расположение графиков линейной функции Функции Линейная функция Интеграл
Реальная математика
Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Единицы измерения Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Метод математической индукции Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Экономические задачи. Оптимизация Прикладные задачи Вероятность Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства

Элементы и аксиомы стереометрии

Стереометрия – раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве (т.е. объемные фигуры). Для изучения и описания фигур стереометрии недостаточно знать о свойствах точек и прямых, необходимо также рассматривать такой элемент геометрии как плоскость.

Плоскость – это базовый элемент геометрии, которому сложно дать однозначное определение. Для описания плоскости можно представить любую гладкую поверхность – стол, стену, лист бумаги и т.д.

ОБОЗНАЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Обозначается плоскость строчной греческой буквой \((\alpha,\ \beta)\) и чертится как параллелограмм или произвольная область. Так мы обозначаем ограниченную плоскость, хотя плоскость, как и прямая – бесконечно продолжается во все стороны:

  • Если точка или прямая лежит на плоскости, то пишут \(А \in \alpha\), \(b \in \alpha\) и говорят, что точка А и прямая b принадлежит плоскости α.

  • Если точка или прямая не лежит на плоскости, то пишут \(A \notin \beta,\ b \notin \beta\):

Если две прямые не лежат в одной плоскости и не параллельны, тогда эти прямые называются скрещивающимися. Таким образом для скрещивающихся прямых не существует плоскости, которая их содержит.

Можно представить скрещивающиеся прямые, если представить две плоскости – одну над другой – и на каждой из них будут лежать прямые, которые между собой не параллельны.

Например: a и b – скрещивающиеся прямые:

a \(∸\) b – скрещивающиеся прямые

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Существует множество аксиом стереометрии, которые описывают фундаментальные принципы расположения элементов геометрии в пространстве, но самыми основными из них считаются три аксиомы стереометрии. Благодаря ним можно вывести несколько следствий и уже вместе с аксиомами они дают хорошую основу для изучения стереометрии.

АКСИОМА 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и при том только одну.

Можно легко проверить эту аксиому. Из планиметрии мы знаем, что любой треугольник – это плоская фигура и через вершины любого треугольника можно провести плоскость так, чтобы все они лежали в одной плоскости. Если рассматривать уже четыре точки. То по аксиоме 1 три из них всегда образуют плоскость, но вот четвертая может как лежать в плоскости, так и не лежать в ней:

\({\text{ABC}\ \in \ \alpha }{D\ \notin \ \alpha}\)

Мы знаем, что через две точки пространства можно провести прямую, а через три – плоскость, поэтому плоскость, аналогично прямой, могут обозначать точками, которыми она может быть образована:

\(D\ \notin \ \text{ABC}\ (т.к.\ \text{ABC}\ \in \ \alpha)\)

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМЫ 1

Каждый элемент геометрии (точка, прямая и плоскость) неразрывно связаны друг с другом, поэтому три точки, через которую можно провести плоскость, можно представить как совокупность прямых и точек.

Следствие 1:

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и при том только одну.

Рассмотрим плоскость α. Если точки А, В и С образуют плоскость, то на этой плоскости две точки, например В и С, могут образовать прямую (т.к. через две точки может проходить прямая и при том только одна). Пусть прямая В, С – это прямая a, тогда нам не хватает всего одной точки, не лежащей на этой прямой, чтобы образовать плоскость:

\(\left. \ \frac{B,\ C \in a}{A \notin a} \right\} \Longrightarrow a,\ A \in \alpha\)

Следствие 2:

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Рассмотрим ту же плоскость. Если В и С уже принадлежат прямой a, то представим прямую b, которая пересекает её в точек В. Опять же, для образования прямой b необходимо две точки одна (точка В) у нас уже есть, тогда пусть второй такой точкой будет точка А. Получается, что a и b пересекаются в точке В, при этом на каждой и прямой есть еще как минимум по одной точки (А и С), таким образом у нас есть три точки, которые и образуют плоскость:

\(a \cap b = B \Longrightarrow a,\ b \in \alpha\)

Следствие 3:

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Аналогично предыдущим двум следствиям рассмотрим две параллельные прямые как совокупность точек. Если на одной прямой есть как минимум две точки, то на второй прямой будет лежать третья точка, не лежащая на первой прямой. Таким образом у нас три точки, не лежащие на одной прямой, и по аксиоме 1 они могут образовать плоскость:

\(a \parallel b \Longrightarrow a,b \in \alpha\)

АКСИОМА 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Если две точки лежат на плоскости, то через них можно провести прямую, при том только одну. Таким образом все точки этой прямой будут лежать в одной плоскости с исходными точками.

\(\left. \ \frac{А \in \alpha}{В \in \alpha} \right\} \Longrightarrow AВ \in \alpha\)

АКСИОМА 3

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Можно представить эту аксиому как пересечение двух листков бумаги. Мы никогда не сможем пересечь их так, чтобы они пересекались только в одной точке, т.к. любая плоскость бесконечно продолжается во все стороны. Таким образом плоскости пересекаются по прямой:

\(\alpha \cap \beta = a\)