Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Кусочная функция Линейная функция Функция квадратного корня Преобразование графиков функции Интеграл Графическое применение производной Квадратичная функция Координатная плоскость Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Смысл производной Функции Экстремумы Правила дифференцирования Функция обратной пропорциональности Первообразная Графики тригонометрических функций
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Простейшие тригонометрические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Однородные уравнения Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формулы и выражения
Одночлены Многочлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Свойства степеней Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Площадь круга и сектора круга Площади четырёхугольников Теорема Менелая и теорема Чевы Отношения в геометрии Трапеция Ромб Движения Квадрат Многоугольники Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Высота Комбинации с окружностью Прямые и углы на плоскости Параллелограммы Равенство фигур Биссектриса Метод координат на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Средняя линия Треугольники. Площади Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Медиана Скалярное произведение векторов Элементы планиметрии Теорема синусов и теорема косинусов Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Симметрия
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Движения в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол Сечения в многогранниках Призмы Тела вращения
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Вероятность Метод математической индукции Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Прикладные задачи
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)