Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Подобие фигур Площади четырёхугольников Квадрат Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Высота Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Трапеция Параллелограммы Виды треугольников Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Серединный перпендикуляр Средняя линия Треугольники. Площади Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Равенство фигур Многоугольники Теорема Пифагора Симметрия Ромб Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площадь круга и сектора круга Четыре замечательные точки треугольника Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Движения Медиана
Стереометрия
Угол между плоскостями Двугранный угол Векторы в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Призмы Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Основы математической статистики Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Единицы измерения Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Анализ функций
Экстремумы Линейная функция Смысл производной Функция квадратного корня Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графики тригонометрических функций Свойства функций Координатная плоскость Интеграл Функции Квадратичная функция Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности
Уравнения
Однородные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Простейшие тригонометрические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Числа и действия с ними
Делимость Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая НОК и НОД Округление дробей Правила счёта Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Многочлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)