Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Округление дробей
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения
Планиметрия
Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Ромб Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Скалярное произведение векторов Биссектриса Прямоугольник Медиана Равенство фигур Отношения в геометрии Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Высота Площадь круга и сектора круга Средняя линия Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Элементы планиметрии Теорема Менелая и теорема Чевы Прямые и углы на плоскости Многоугольники Треугольники. Площади Симметрия Трапеция Метод координат на плоскости Движения Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Квадрат
Стереометрия
Сечения в телах вращения Пирамиды Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Призмы Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Первообразная Координатная плоскость Смысл производной Кусочная функция Свойства функций Графики тригонометрических функций Функции Экстремумы Квадратичная функция Правила дифференцирования Линейная функция Интеграл
Реальная математика
Сложные проценты Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на доли и дроби Введение в текстовые задачи Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Вероятность Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ

Призмы

Если мы не можем покрутить в руках треугольник (мы можем только изобразить его на плоскости), то мы можем покрутить в руках любую объёмную фигуру, например призму или пирамиду. Такие объемные фигуры называются геометрическими телами.

И наоборот, из-за того, что объемные фигуры не плоские, возникают сложности с их изображением на плоской бумаге, например, для построения чертежа. Поэтому, чтобы показать, что некоторые линии в многограннике невидимые, потому что находятся за другими его частями, их обозначают пунктиром.

N-угольная призма – это геометрическое тело, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и n параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы.

Призма является многогранником – геометрическим телом, состоящим из граней.

Боковые ребра призмы между собой равны и параллельны.

Призму называют по её основанию. В данном случае в основании призмы лежит треугольник, значит эта призма треугольная.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный от плоскости одного основания к плоскости другого.

Наклонная призма – это призма, у которой боковое ребро больше его высоты, т. е. боковые грани НЕ перпендикулярны основаниям призмы.

Прямая призма – это призма, боковое ребро и высота которой равны, т. е. все боковые грани перпендикулярны основаниям призмы.

РАЗВЕРТКА ПРИЗМЫ

Для каждой объемной фигуры существует развертка. Развертка получается, если мысленно разрезать многогранник по его ребру и развернуть получившуюся фигуру на плоскости. Можно обратно получить многогранник из развертки: вырезать развертку и склеить её по ребру разрыва, тогда мы получим исходный многогранник

Например, развертка треугольной призмы выглядит так:

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ

  1. Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей её боковых граней.

Для прямой n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту (т. к. высота призмы совпадает с высотами боковых граней):

\(S_{бок.} = P_{осн.} \bullet h\)

Для правильной n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению длины стороны основания на их количество и на высоту призмы:

\(S_{бок.} = \text{anh}\)

где a – сторона основания призмы

  1. Площадь полной поверхности призмы включается в себя площадь боковой поверхности и площадь двух оснований, т.е.:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + 2S_{осн.}\)

  1. Объём призмы равен произведению площадь её основания на высоту:

\(V = S_{осн.} \bullet h\)

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И КУБ

Прямоугольный параллелепипед – это четырёхугольная призма, все ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны другу.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. Куб является правильной призмой.

Площадь боковой, полной поверхности, а также объем прямоугольного параллелепипеда и куба соответственно равны: