Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Призмы

Если мы не можем покрутить в руках треугольник (мы можем только изобразить его на плоскости), то мы можем покрутить в руках любую объёмную фигуру, например призму или пирамиду. Такие объемные фигуры называются геометрическими телами.

И наоборот, из-за того, что объемные фигуры не плоские, возникают сложности с их изображением на плоской бумаге, например, для построения чертежа. Поэтому, чтобы показать, что некоторые линии в многограннике невидимые, потому что находятся за другими его частями, их обозначают пунктиром.

N-угольная призма – это геометрическое тело, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и n параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы.

Призма является многогранником – геометрическим телом, состоящим из граней.

Боковые ребра призмы между собой равны и параллельны.

Призму называют по её основанию. В данном случае в основании призмы лежит треугольник, значит эта призма треугольная.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный от плоскости одного основания к плоскости другого.

Наклонная призма – это призма, у которой боковое ребро больше его высоты, т. е. боковые грани НЕ перпендикулярны основаниям призмы.

Прямая призма – это призма, боковое ребро и высота которой равны, т. е. все боковые грани перпендикулярны основаниям призмы.

РАЗВЕРТКА ПРИЗМЫ

Для каждой объемной фигуры существует развертка. Развертка получается, если мысленно разрезать многогранник по его ребру и развернуть получившуюся фигуру на плоскости. Можно обратно получить многогранник из развертки: вырезать развертку и склеить её по ребру разрыва, тогда мы получим исходный многогранник

Например, развертка треугольной призмы выглядит так:

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ

  1. Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей её боковых граней.

Для прямой n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту (т. к. высота призмы совпадает с высотами боковых граней):

\(S_{бок.} = P_{осн.} \bullet h\)

Для правильной n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению длины стороны основания на их количество и на высоту призмы:

\(S_{бок.} = \text{anh}\)

где a – сторона основания призмы

  1. Площадь полной поверхности призмы включается в себя площадь боковой поверхности и площадь двух оснований, т.е.:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + 2S_{осн.}\)

  1. Объём призмы равен произведению площадь её основания на высоту:

\(V = S_{осн.} \bullet h\)

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И КУБ

Прямоугольный параллелепипед – это четырёхугольная призма, все ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны другу.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. Куб является правильной призмой.

Площадь боковой, полной поверхности, а также объем прямоугольного параллелепипеда и куба соответственно равны: