Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Призмы Двугранный угол Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми
Анализ функций
Экстремумы Квадратичная функция Графическое применение производной Первообразная Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Кусочная функция Свойства функций Функции Правила дифференцирования Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Координатная плоскость Линейная функция Смысл производной Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции
Формулы и выражения
Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Числа и действия с ними
Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость Модуль Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта
Планиметрия
Тригонометрия в геометрии Равенство фигур Медиана Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Окружнoсть и круг Прямоугольник Векторы Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Теорема Пифагора Квадрат Симметрия Виды треугольников Биссектриса Метод координат на плоскости Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Высота Площадь круга и сектора круга Ромб Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Средняя линия Треугольники. Площади Теорема синусов и теорема косинусов Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Движения Площади четырёхугольников Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Многоугольники
Реальная математика
Основы комбинаторики Вероятность Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Множества
Уравнения
Логарифмические уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства

Угол между плоскостями

При пересечении две плоскости образуют двугранный угол, линейная величина которого равна углу между плоскостями. Существует два метода нахождения этого угла.

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

Как видно из названия, при нахождении угла данным методом нужно провести на каждой из плоскостей перпендикуляр к прямой их пересечения, при этом так, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Существуют две плоскости \(\alpha\) и\(\text{\ β}\), которые пересекаются на прямой\(\ m\):

Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно:

  1. На плоскости \(\alpha\) провести перпендикуляр АО к прямой m.

  2. На плоскости \(\beta\) провести перпендикуляр OB:

  1. Найти линейный угол АОВ:

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ПЛОСКОСТЯМ

Иногда проведение перпендикуляров к прямой пересечения плоскостей – не самый удобный метод нахождения угла между плоскостями. Иногда удобнее «вынести» угол из двугранного угла и посчитать его как угол между прямыми.

  1. Провести перпендикуляр АО от плоскости α.

  2. провести перпендикуляр ОВ к плоскости β:

  1. Найти линейный угол между прямыми АО и ОВ: