Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Реальная математика
Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Сложные проценты Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Комбинаторика Геометрическая прогрессия Прикладные задачи
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Анализ функций
Свойства функций Графики тригонометрических функций Экстремумы Квадратичная функция Функция обратной пропорциональности Кусочная функция Графическое применение производной Правила дифференцирования Координатная плоскость Линейная функция Функция квадратного корня Преобразование графиков функции Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Функции Смысл производной
Уравнения
Показательные уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Координатная прямая Смешанные дроби и действия с ними Модуль
Планиметрия
Площадь круга и сектора круга Квадрат Симметрия Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Медиана Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Многоугольники Виды треугольников Равенство фигур Треугольники. Площади Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Тригонометрия в геометрии Метод координат на плоскости Движения Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Векторы Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Площади четырёхугольников Высота Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Параллелограммы Биссектриса Средняя линия Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Прямоугольник
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Тела вращения Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Призмы Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости

Угол между плоскостями

При пересечении две плоскости образуют двугранный угол, линейная величина которого равна углу между плоскостями. Существует два метода нахождения этого угла.

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

Как видно из названия, при нахождении угла данным методом нужно провести на каждой из плоскостей перпендикуляр к прямой их пересечения, при этом так, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Существуют две плоскости \(\alpha\) и\(\text{\ β}\), которые пересекаются на прямой\(\ m\):

Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно:

  1. На плоскости \(\alpha\) провести перпендикуляр АО к прямой m.

  2. На плоскости \(\beta\) провести перпендикуляр OB:

  1. Найти линейный угол АОВ:

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ПЛОСКОСТЯМ

Иногда проведение перпендикуляров к прямой пересечения плоскостей – не самый удобный метод нахождения угла между плоскостями. Иногда удобнее «вынести» угол из двугранного угла и посчитать его как угол между прямыми.

  1. Провести перпендикуляр АО от плоскости α.

  2. провести перпендикуляр ОВ к плоскости β:

  1. Найти линейный угол между прямыми АО и ОВ: