Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Однородные уравнения Показательные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций
Планиметрия
Трапеция Параллелограммы Высота Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Средняя линия Медиана Квадрат Теорема Пифагора Серединный перпендикуляр Элементы планиметрии Ромб Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямые и углы на плоскости Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Четыре замечательные точки треугольника Отношения в геометрии Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Векторы Виды треугольников Скалярное произведение векторов Окружнoсть и круг Прямоугольник Многоугольники Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Движения Подобие фигур
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Функция квадратного корня Кусочная функция Интеграл Функции Линейная функция Преобразование графиков функции Свойства функций Координатная плоскость Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Экстремумы Квадратичная функция Правила дифференцирования
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Вероятность Единицы измерения Сложные проценты Прикладные задачи Множества Арифметическая прогрессия Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Числа и действия с ними
Координатная прямая Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Правила счёта Модуль
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Стереометрия
Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Призмы Двугранный угол Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Тела вращения Расстояние от точки до плоскости

Формулы Сокращенного Умножения

Тема, которая может встретиться во многих темах, вынесенных на экзамен – ФСУ. Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение \(2x^{2}y + \text{xy}^{2}\):

  1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это \(\text{xy}\).

  2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

\(2x^{2}y + xy^{2} = xy\left( \frac{2x^{2}y}{\text{xy}} + \frac{xy^{2}}{\text{xy}} \right) = xy\left( 2x + y \right)\ \)

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

\(- 2t^{2} - t = - t\left( 2t + 1 \right)\)

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения \(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}\).

  1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

\(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = \left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right)\)

  1. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

\(\left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right) = 7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b(5 + b^{2})\)

  1. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

\(7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b\left( 5 + b^{2} \right) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2})\)

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z\).

  1. Группируем отдельные слагаемые.

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + (26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z)\)

  1. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right) = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})\)

  1. Выносим повторяющиеся скобки.

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) = (13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})(1 + 2z)\)

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида \(ax^{2} + bx + c\), где \(a \neq 0,\ b,\ c\) – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

\(ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})\)

В котором \(x_{1},\ x_{2}\) – корни уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\).

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение \(x^{2} + 3x - 4\)

  1. Определим корни уравнения \(x^{2} + 3x - 4 = 0\) с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = 1 \\ \text{\ \ } \\ \ \text{\ \ x}_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. Подставим найденные корни в формулу \(\text{\ a}x^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})\). В данном случае \(a = 1\).

\(x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x - 4)\)

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы, по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Название Формула
Разность квадратов \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\)
Квадрат разности \(\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
Квадрат суммы \(\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
Разность кубов \(a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\)
Сумма кубов \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)
Куб разности \(\left( a - b \right)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)
Куб суммы \(\left( a + b \right)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)

Замечательным свойством этих правил является то, что, если вместо \(a,b\) стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

  1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

  2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

  3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

\(4m^{2} + 4mn + n^{2}\)

  1. Выражение похоже на квадрат суммы.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(4m^{2} + 4mn + n^{2} = \left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2}\)

  1. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\(\left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2} = \left( 2m + n \right)^{2}\)

Пример 2

\(27x^{3} - 8y^{3}\)

  1. Выражение похоже на разность кубов.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(27x^{3} - 8y^{3} = \left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3}\)

  1. Воспользуемся формулой разности кубов:

\(\left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3} = \left( 3x - 2y \right)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2})\)

Пример 3

\(25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4}\)

  1. Выражение похоже на разность квадратов.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4} = \left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2}\)

  1. Воспользуемся формулой разности квадратов:

\(\left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2} = (5xy - p^{3}z^{2})(5xy + p^{3}z^{2})\)

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение \(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}}\) :

  1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

\(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}} = \frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}}\)

  1. Сократим повторяющиеся элементы.

\(\frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}} = \frac{x}{x - y}\)