Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей Призмы Угол между плоскостями Двугранный угол Пирамиды Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения высших степеней Методы решения уравнений Однородные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Формулы и выражения
Многочлены Свойства степеней Степени Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Тригонометрический круг
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Ромб Подобие фигур Равенство фигур Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Медиана Трапеция Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Виды треугольников Биссектриса Движения Многоугольники Средняя линия Высота Метод координат на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площадь круга и сектора круга Векторы Теорема Пифагора Треугольники. Площади Тригонометрия в геометрии Теорема синусов и теорема косинусов Скалярное произведение векторов Квадрат Окружнoсть и круг Параллелограммы Элементы планиметрии Прямоугольник Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Отношения в геометрии Симметрия Простейшие расстояния на плоскости
Анализ функций
Кусочная функция Функции Координатная плоскость Смысл производной Взаимное расположение графиков линейной функции Функция квадратного корня Свойства функций Линейная функция Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования Графическое применение производной Первообразная Квадратичная функция Функция обратной пропорциональности
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Единицы измерения Геометрическая прогрессия
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Десятичные дроби и действия с ними

Формулы Сокращенного Умножения

Тема, которая может встретиться во многих темах, вынесенных на экзамен – ФСУ. Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение \(2x^{2}y + \text{xy}^{2}\):

  1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это \(\text{xy}\).

  2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

\(2x^{2}y + xy^{2} = xy\left( \frac{2x^{2}y}{\text{xy}} + \frac{xy^{2}}{\text{xy}} \right) = xy\left( 2x + y \right)\ \)

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

\(- 2t^{2} - t = - t\left( 2t + 1 \right)\)

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения \(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}\).

  1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

\(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = \left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right)\)

  1. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

\(\left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right) = 7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b(5 + b^{2})\)

  1. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

\(7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b\left( 5 + b^{2} \right) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2})\)

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z\).

  1. Группируем отдельные слагаемые.

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + (26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z)\)

  1. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right) = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})\)

  1. Выносим повторяющиеся скобки.

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) = (13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})(1 + 2z)\)

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида \(ax^{2} + bx + c\), где \(a \neq 0,\ b,\ c\) – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

\(ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})\)

В котором \(x_{1},\ x_{2}\) – корни уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\).

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение \(x^{2} + 3x - 4\)

  1. Определим корни уравнения \(x^{2} + 3x - 4 = 0\) с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = 1 \\ \text{\ \ } \\ \ \text{\ \ x}_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. Подставим найденные корни в формулу \(\text{\ a}x^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})\). В данном случае \(a = 1\).

\(x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x - 4)\)

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы, по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Название Формула
Разность квадратов \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\)
Квадрат разности \(\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
Квадрат суммы \(\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
Разность кубов \(a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\)
Сумма кубов \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)
Куб разности \(\left( a - b \right)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)
Куб суммы \(\left( a + b \right)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)

Замечательным свойством этих правил является то, что, если вместо \(a,b\) стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

  1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

  2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

  3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

\(4m^{2} + 4mn + n^{2}\)

  1. Выражение похоже на квадрат суммы.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(4m^{2} + 4mn + n^{2} = \left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2}\)

  1. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\(\left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2} = \left( 2m + n \right)^{2}\)

Пример 2

\(27x^{3} - 8y^{3}\)

  1. Выражение похоже на разность кубов.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(27x^{3} - 8y^{3} = \left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3}\)

  1. Воспользуемся формулой разности кубов:

\(\left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3} = \left( 3x - 2y \right)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2})\)

Пример 3

\(25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4}\)

  1. Выражение похоже на разность квадратов.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4} = \left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2}\)

  1. Воспользуемся формулой разности квадратов:

\(\left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2} = (5xy - p^{3}z^{2})(5xy + p^{3}z^{2})\)

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение \(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}}\) :

  1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

\(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}} = \frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}}\)

  1. Сократим повторяющиеся элементы.

\(\frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}} = \frac{x}{x - y}\)