Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Числа и действия с ними
Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Модуль НОК и НОД Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Формулы тригонометрии Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Иррациональные выражения Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени
Реальная математика
Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Прикладные задачи Экономические задачи. Вклады Множества Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Квадратные уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения высших степеней
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Планиметрия
Параллелограммы Биссектриса Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Треугольники. Площади Площади четырёхугольников Средняя линия Теорема синусов и теорема косинусов Движения Равенство фигур Скалярное произведение векторов Квадрат Элементы планиметрии Серединный перпендикуляр Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Ромб Виды треугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Теорема Пифагора Высота Подобие фигур Комбинации с окружностью Медиана Прямые и углы на плоскости Трапеция Метод координат на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Симметрия Тригонометрия в геометрии
Стереометрия
Векторы в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Призмы Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью
Анализ функций
Первообразная Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Функции Координатная плоскость Линейная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Экстремумы Квадратичная функция Функция квадратного корня Кусочная функция Свойства функций

Сечения в многогранниках

Сечение – планиметрическая фигура, образованная рассечением объемного тела.

Сечение должно образовывать единую фигуру (быть замкнутым). Построение сечения делается по строгим правилам и принципам, которые, в свою очередь, основываются на аксиомы и теоремы стереометрии.

Сечения многогранников

Сечение многогранника плоскостью - плоский многоугольник, у которого:

  • вершины принадлежат ребрам,

  • а стороны – граням многогранника.

Две соседние вершины сечения принадлежат одной грани многогранника.

Принципы построения сечения многогранников

  1. Если две точки сечения принадлежат одной грани, то эти точки можно соединить.

Лежащие в основе аксиомы и свойства:

  • Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Примеры:

  1. Если известна линия, по которой плоскость пересекает одну из параллельных граней, то вторую грань плоскость пересечет по линии, параллельной данной.

Лежащие в основе аксиомы и свойства:

  • Две параллельные прямые образуют плоскость и притом только одну.

  • Через точку можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

  • Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Большое значение для этого принципа имеет именно третье свойство – свойство параллельных плоскостей.

Пример:

МЕТОД СЛЕДОВ

Особенным методом построения сечений в многогранниках является метод следов. Для начала разберемся, что такое «след».

След – прямая l

След плоскости \(\mathbf{\text{\ β}}\) на плоскости \(\mathbf{\alpha}\) – прямая, по которой плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(\alpha\).

След – точка M

След прямой l на плоскости \(\mathbf{\alpha}\) – точка пересечения прямой l с плоскостью \(\alpha\).

Суть метода: уже известные стороны сечения на гранях многогранника мы продолжаем за пределы стереометрической фигуры до пересечения с ребрами многогранника. Благодаря этому мы получаем «следы» этих прямых на гранях многогранника, то есть точки. Получив две точки на одной грани, мы, воспользовавшись первым принципом, можем их соединить.

Пример: