Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Высота Подобие фигур Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Элементы планиметрии Виды треугольников Комбинации с окружностью Медиана Многоугольники Средняя линия Биссектриса Площади четырёхугольников Прямоугольник Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Трапеция Тригонометрия в геометрии Скалярное произведение векторов Простейшие расстояния на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Квадрат Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Симметрия Метод координат на плоскости Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Параллелограммы Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Комбинаторика Текстовые задачи на движение по воде Единицы измерения Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Множества Экономические задачи. Экономические показатели Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Вероятность Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Степени Показательные выражения и свойства показательной функции Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Стереометрия
Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Двугранный угол
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Кусочная функция Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Интеграл Квадратичная функция Правила дифференцирования Смысл производной Линейная функция Графическое применение производной Первообразная Функции Экстремумы
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Квадратные уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Показательные уравнения
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними

Координатная прямая

Координатная прямая – это прямая, имеющая направление, начало отсчета и заданный масштаб.

Начало координат соответствует координате \(= 0\), а положительное направление указано стрелочкой.

Единичный отрезок – это расстояние между соседними делениями на координатной прямой. Единичный отрезок показывает масштаб координатной прямой.

ТОЧКА НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

  1. Любая точка, соответствующая числу на координатной прямой, имеет координату, равную этому числу.

Например:

Точка А соответствует числу 2. В таком случае говорят, что существует точка А с координатой 2 или записывают её как А(2). Если точка не обозначается буквой, можно сказать, что существует точка 2.

  1. На координатной прямой можно отмечать не только целые числа, но и дробные.

Например:

Теперь координата точки В\(\left( - \frac{3}{4} \right)\) дробная и отрицательная:

С помощью координатной прямой удобно сравнивать числа. Любое число справа будет больше, чем число слева.

ПРОМЕЖУТКИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

На координатной прямой можно отмечать сразу совокупность точек, входящие в тот или иной промежуток.

Числовой промежуток – это множества чисел, обозначенные на координатной прямой с помощью луча, интервала или отрезка.

Луч – это открытый числовой промежуток с помощью которого обозначается множество чисел больше или меньше какого-то числа.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(x > 2\):

Само число 2 не может быть больше себя же, поэтому точка, которой отмечается эта координата остается пустой или выколотой. Такой точке соответствует круглая скобка.

Таким образом любое число на закрашенной области соответствует заданному неравенству, а обозначить его можно как

\(x \in (2; + \infty)\)

Закрытый луч – это луч на координатной прямой, точка начала которого входит в заданный промежуток

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(x \leq 2\):

Число 2 равно самому себе, поэтому точка 2 входит в заданный промежуток. Такая точка закрашивается и называется вколотой. Такой точке соответствует квадратная скобка. Промежуток обозначается как

\(x \in (–\infty;\left. \ 2 \right\rbrack\).

Отрезок – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон, при этом точки, ограничивающие отрезок, в него входят.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(- 3 \leq x \leq 1\):

Точки -3 и 1 входят в этот промежуток и являются вколотыми. Все числа, обозначенные на координатной прямой, удовлетворяют неравенству. Такой промежуток обозначается как

\(x \in \left\lbrack - 3;1 \right\rbrack\)

Интервал – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон. Разница с отрезком заключается в том, что граничные точки НЕ входят в интервал. В интервал входит все, что между этими точками.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(- 3 < x < 1\):

Поменялись только точки, но описывается уже совсем другая математическая ситуация.

\(x \in ( - 3;1)\)

Полуинтервал – числовой промежуток, одна граница которого в него входит, а вторая нет. При чем не важно с какой стороны находится пустая точка.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(0 < x \leq 2\):

Точки такого полуинтервала будут вколоты и выколоты в соответствии с условием: 0 не входит в полуинтервал – точка выколота, 2 – входит в интервал – точка вколота. Тогда полуинтервал записывается так:

\(x \in (0;\left. \ 2 \right\rbrack\)