Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Трапеция Параллелограммы Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Треугольники. Площади Симметрия Движения Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Средняя линия Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Высота Медиана Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Биссектриса Равенство фигур Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Прямые и углы на плоскости Тригонометрия в геометрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Виды треугольников Квадрат Многоугольники
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Призмы Угол между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Движения в пространстве Тела вращения Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями
Анализ функций
Линейная функция Смысл производной Графическое применение производной Свойства функций Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Функции Экстремумы Квадратичная функция Преобразование графиков функции Кусочная функция Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Координатная плоскость Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Экономические показатели Основы комбинаторики Вероятность Геометрическая прогрессия Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Основы математической статистики Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства

Координатная прямая

Координатная прямая – это прямая, имеющая направление, начало отсчета и заданный масштаб.

Начало координат соответствует координате \(= 0\), а положительное направление указано стрелочкой.

Единичный отрезок – это расстояние между соседними делениями на координатной прямой. Единичный отрезок показывает масштаб координатной прямой.

ТОЧКА НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

  1. Любая точка, соответствующая числу на координатной прямой, имеет координату, равную этому числу.

Например:

Точка А соответствует числу 2. В таком случае говорят, что существует точка А с координатой 2 или записывают её как А(2). Если точка не обозначается буквой, можно сказать, что существует точка 2.

  1. На координатной прямой можно отмечать не только целые числа, но и дробные.

Например:

Теперь координата точки В\(\left( - \frac{3}{4} \right)\) дробная и отрицательная:

С помощью координатной прямой удобно сравнивать числа. Любое число справа будет больше, чем число слева.

ПРОМЕЖУТКИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

На координатной прямой можно отмечать сразу совокупность точек, входящие в тот или иной промежуток.

Числовой промежуток – это множества чисел, обозначенные на координатной прямой с помощью луча, интервала или отрезка.

Луч – это открытый числовой промежуток с помощью которого обозначается множество чисел больше или меньше какого-то числа.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(x > 2\):

Само число 2 не может быть больше себя же, поэтому точка, которой отмечается эта координата остается пустой или выколотой. Такой точке соответствует круглая скобка.

Таким образом любое число на закрашенной области соответствует заданному неравенству, а обозначить его можно как

\(x \in (2; + \infty)\)

Закрытый луч – это луч на координатной прямой, точка начала которого входит в заданный промежуток

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(x \leq 2\):

Число 2 равно самому себе, поэтому точка 2 входит в заданный промежуток. Такая точка закрашивается и называется вколотой. Такой точке соответствует квадратная скобка. Промежуток обозначается как

\(x \in (–\infty;\left. \ 2 \right\rbrack\).

Отрезок – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон, при этом точки, ограничивающие отрезок, в него входят.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(- 3 \leq x \leq 1\):

Точки -3 и 1 входят в этот промежуток и являются вколотыми. Все числа, обозначенные на координатной прямой, удовлетворяют неравенству. Такой промежуток обозначается как

\(x \in \left\lbrack - 3;1 \right\rbrack\)

Интервал – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон. Разница с отрезком заключается в том, что граничные точки НЕ входят в интервал. В интервал входит все, что между этими точками.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(- 3 < x < 1\):

Поменялись только точки, но описывается уже совсем другая математическая ситуация.

\(x \in ( - 3;1)\)

Полуинтервал – числовой промежуток, одна граница которого в него входит, а вторая нет. При чем не важно с какой стороны находится пустая точка.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(0 < x \leq 2\):

Точки такого полуинтервала будут вколоты и выколоты в соответствии с условием: 0 не входит в полуинтервал – точка выколота, 2 – входит в интервал – точка вколота. Тогда полуинтервал записывается так:

\(x \in (0;\left. \ 2 \right\rbrack\)