Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Вклады Множества Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Сложные проценты Введение в текстовые задачи Комбинаторика Текстовые задачи на проценты
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Параллелограммы Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Многоугольники Средняя линия Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Медиана Ромб Биссектриса Тригонометрия в геометрии Высота Движения Равенство фигур Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Виды треугольников Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Квадрат Прямые и углы на плоскости Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии
Анализ функций
Функции Квадратичная функция Графическое применение производной Свойства функций Правила дифференцирования Кусочная функция Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Первообразная Графики тригонометрических функций Смысл производной Функция квадратного корня Интеграл Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Однородные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Делимость Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Многочлены Тригонометрический круг Степени Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Движения в пространстве Угол между плоскостями Призмы Двугранный угол Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Тела вращения Расстояние от точки до плоскости

Логарифмические уравнения

Логарифм числа b по основанию a (\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\mathbf{= c}\)) – это такой показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (то есть \(a^{c}\) = b).


При этом задаются ограничения:

\(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\).

Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Для решения логарифмических уравнений нужно:

1. Прописывать ОДЗ.
2. Следовать алгоритму решения.
3. Знать свойства логарифмов.

Рассмотрим каждый пункт подробнее.

ОДЗ:

Область допустимых значений для логарифма вида \(\log_{a}b = c\) записываются как:

\(\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

ОДЗ пишем на функции в ИСХОДНОМ уравнении!

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

Главная цель (после цели получить ответ) при решении – избавиться от логарифмов, отсюда исходят две различные ситуации. Первая: логарифм только с одной стороны. Вторая: логарифмы с обеих сторон.

Первый способ решения: по определению

\(\text{lo}g_{a}b = c\)

\(b = a^{c}\)

Второй метод решения: потенцирование

\(\text{lo}g_{a}f\left( x \right) = log_{a}g\left( x \right)\)

\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений двумя алгоритмами.

Пример №1:

Решите уравнение:

\(\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4\)

1. Сначала нужно прописать ОДЗ:

\(\left( - x^{2} - 8x \right) > 0\)

2. Выразим из этого неравенства x:

\(- x^{2} - 8x > 0\)

\(x\left( x + 8 \right) < 0\)

ОДЗ: \(x \in ( - 8;0)\)

3. Воспользуемся определением логарифма и решим получившееся уравнение:

\(\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4\)

\(- x^{2} - 8x = 2^{4}\ | \cdot ( - 1)\)

\(x^{2} + 8x + 16 = 0\)

\(\left( x + 4 \right)^{2} = 0\)

\(x = - 4\)

Ответ: \(- 4.\)

Пример №2:

Решите уравнение:

\(\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}\)

1. Снова начинаем с ОДЗ. Здесь нужно соблюдать ограничения уже для двух логарифмов:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x^{2} + 11x > 0 \\ \text{\ \ } \\ 3x + 9 > 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ } \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x(x + 11) > 0 \\ \text{\ \ } \\ x + 3 > 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ x < - 11 \\ \ \ x > 0 \\ x > - 3\ \\ \end{matrix}\ \Longrightarrow x \in (0; + \infty) \right.\ \)

2. Потенцируем уравнение:

\(\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}\)

\(x^{2} + 11x = 3x + 9\)

\(x^{2} + 8x - 9 = 0\)

По теореме Виета:

Ответ: 1.