Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Логарифмические уравнения

Логарифм числа b по основанию a (\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\mathbf{= c}\)) – это такой показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (то есть \(a^{c}\) = b).


При этом задаются ограничения:

\(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\).

Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Для решения логарифмических уравнений нужно:

1. Прописывать ОДЗ.
2. Следовать алгоритму решения.
3. Знать свойства логарифмов.

Рассмотрим каждый пункт подробнее.

ОДЗ:

Область допустимых значений для логарифма вида \(\log_{a}b = c\) записываются как:

\(\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

ОДЗ пишем на функции в ИСХОДНОМ уравнении!

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

Главная цель (после цели получить ответ) при решении – избавиться от логарифмов, отсюда исходят две различные ситуации. Первая: логарифм только с одной стороны. Вторая: логарифмы с обеих сторон.

Первый способ решения: по определению

\(\text{lo}g_{a}b = c\)

\(b = a^{c}\)

Второй метод решения: потенцирование

\(\text{lo}g_{a}f\left( x \right) = log_{a}g\left( x \right)\)

\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений двумя алгоритмами.

Пример №1:

Решите уравнение:

\(\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4\)

1. Сначала нужно прописать ОДЗ:

\(\left( - x^{2} - 8x \right) > 0\)

2. Выразим из этого неравенства x:

\(- x^{2} - 8x > 0\)

\(x\left( x + 8 \right) < 0\)

ОДЗ: \(x \in ( - 8;0)\)

3. Воспользуемся определением логарифма и решим получившееся уравнение:

\(\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4\)

\(- x^{2} - 8x = 2^{4}\ | \cdot ( - 1)\)

\(x^{2} + 8x + 16 = 0\)

\(\left( x + 4 \right)^{2} = 0\)

\(x = - 4\)

Ответ: \(- 4.\)

Пример №2:

Решите уравнение:

\(\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}\)

1. Снова начинаем с ОДЗ. Здесь нужно соблюдать ограничения уже для двух логарифмов:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x^{2} + 11x > 0 \\ \text{\ \ } \\ 3x + 9 > 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ } \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x(x + 11) > 0 \\ \text{\ \ } \\ x + 3 > 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ x < - 11 \\ \ \ x > 0 \\ x > - 3\ \\ \end{matrix}\ \Longrightarrow x \in (0; + \infty) \right.\ \)

2. Потенцируем уравнение:

\(\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}\)

\(x^{2} + 11x = 3x + 9\)

\(x^{2} + 8x - 9 = 0\)

По теореме Виета:

Ответ: 1.