Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Преобразование графиков функции Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Функции Экстремумы Квадратичная функция Правила дифференцирования Координатная плоскость Графическое применение производной Свойства функций Графики тригонометрических функций Смысл производной Функция квадратного корня Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Первообразная Линейная функция
Реальная математика
Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Единицы измерения Сложные проценты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Вероятность Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Множества
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Иррациональные уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Числа и действия с ними
Правила счёта Модуль Округление дробей Делимость Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Стереометрия
Движения в пространстве Пирамиды Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Призмы Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств
Планиметрия
Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Трапеция Площадь круга и сектора круга Движения Скалярное произведение векторов Окружнoсть и круг Параллелограммы Тригонометрия в геометрии Векторы Многоугольники Симметрия Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Высота Площади четырёхугольников Прямоугольник Средняя линия Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Элементы планиметрии Теорема Пифагора Медиана Квадрат Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Ромб Метод координат на плоскости Треугольники. Площади Подобие фигур Комбинации с окружностью Равенство фигур Прямые и углы на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса

Первообразная

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции \(f\) — это функция, от которой взяли производную и получили \(f\).

Например:

Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

Функция F(x) = х³ + 6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х² + 5, F(x) = х² + 17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

Геометрический смысл первообразной

Пусть имеется график функции \(f\left( x \right)\text{.\ }\) На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком \(f\left( x \right).\) Требуется найти площадь, ограниченную графиком \(f\left( x \right),\) осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\).

\(S = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\ dx = F\left( b \right) - F\left( a \right),\ \ }\)где F — первообразная f(x).

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной \(f\left( x \right)\) (то есть \(F\left( x \right)\)), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

  1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке — F(b).

  2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

  3. Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

\(S = F\left( b \right) - F(a)\)