Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Однородные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Показательные уравнения Уравнения высших степеней
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Модуль Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Движения Теорема Менелая и теорема Чевы Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Медиана Скалярное произведение векторов Тригонометрия в геометрии Многоугольники Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Подобие фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Параллелограммы Ромб Виды треугольников Высота Равенство фигур Прямоугольник Отношения в геометрии Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Теорема Пифагора Треугольники. Площади Квадрат Окружнoсть и круг Средняя линия
Реальная математика
Единицы измерения Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на сплавы и смеси Геометрическая прогрессия Основы комбинаторики Комбинаторика Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Стереометрия
Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Пирамиды Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Тела вращения Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах
Анализ функций
Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы Интеграл Координатная плоскость Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Правила дифференцирования Функция квадратного корня Кусочная функция Функции Линейная функция Смысл производной Свойства функций Первообразная Преобразование графиков функции Функция обратной пропорциональности
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения

Первообразная

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции \(f\) — это функция, от которой взяли производную и получили \(f\).

Например:

Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

Функция F(x) = х³ + 6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х² + 5, F(x) = х² + 17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

Геометрический смысл первообразной

Пусть имеется график функции \(f\left( x \right)\text{.\ }\) На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком \(f\left( x \right).\) Требуется найти площадь, ограниченную графиком \(f\left( x \right),\) осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\).

\(S = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\ dx = F\left( b \right) - F\left( a \right),\ \ }\)где F — первообразная f(x).

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной \(f\left( x \right)\) (то есть \(F\left( x \right)\)), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

  1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке — F(b).

  2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

  3. Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

\(S = F\left( b \right) - F(a)\)