Первообразная

31 октября спасаемся от ужасов ОГЭ и ЕГЭ!

Узнай решения завальных заданий и выиграй курс на вебинаре

узнать подробнее

imageDesktop

Первообразная

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции \(f\) — это функция, от которой взяли производную и получили \(f\).

Например:

Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

Функция F(x) = х³ + 6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х² + 5, F(x) = х² + 17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

Геометрический смысл первообразной

Пусть имеется график функции \(f\left( x \right)\text{.\ }\) На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком \(f\left( x \right).\) Требуется найти площадь, ограниченную графиком \(f\left( x \right),\) осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\).

\(S = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\ dx = F\left( b \right) - F\left( a \right),\ \ }\)где F — первообразная f(x).

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной \(f\left( x \right)\) (то есть \(F\left( x \right)\)), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке — F(b).

Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

\(S = F\left( b \right) - F(a)\)

play

Урок пройден! Продолжай изучать предмет дальше -> там интересно :)

Следующие темы

Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Показательные и логарифмические неравенства

Анализ функций

Графики тригонометрических функций Первообразная Правила дифференцирования

Неравенства

Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства

Параметр

Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения

Планиметрия

Движения Многоугольники 11 кл Теорема Менелая и теорема Чевы

Реальная математика

Арифметическая прогрессия Комбинаторика Множества Основы комбинаторики Сложные проценты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Оптимизация Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Экономические показатели

Стереометрия

Движения в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Пирамиды Призмы Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью

Уравнения

Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью тригонометрического круга Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах

Формулы и выражения

Показательные выражения и свойства показательной функции Тригонометрический круг

Наши социальные сети

Подписывайся!

Экономь время

на подготовке в ТГ

Забирай полезные чек-листы, памятки и лайфхаки

Подписаться →

Изучай новое

без усилий в ВК

Смотри полезные видео и вебинары, где объясняем сложное простым языком

Подписаться →

Забирай полезное в Максимум БЛОГЕ

Узнай первым лайфхаки по решению заданий предстоящего экзамена

Подписаться →

Содержание