Экономические задачи. Ценные бумаги

Задачи на ценные бумаги – это вид экономических задач, решение которых строится на понимании того, что такое ценные бумаги, и умении превратить это знание в математическую модель. Универсальной формулы, которая помогает решить любую задачу с ценными бумагами нет, так как в задачах обычно описана функция, по которой ценные бумаги растут. Также эти задачи могут комбинироваться с задачами по вкладам, так как вклад и ценные бумаги – два альтернативных способа увеличения своего капитала.

ЧТО ТАКОЕ ЦЕННАЯ БУМАГА:

Ценные бумаги обычно продают различные компании для того, чтобы привлечь деньги, на которые они будут развивать свой бизнес.

Если компания становится успешной и хорошо развивается, стоимость ценных бумаг может расти. Вы можете купить дешевую ценную бумагу, пока компания еще маленькая, рассчитывая на то, что, если она будет хорошо развиваться, стоимость этих ценных бумаг вырастет в несколько раз. Тогда их можно будет продать по их новой рыночной стоимости, несмотря на то, что вы купили ценную бумагу по меньшей цене.

Таким образом вы можете совершать с ценными бумагами две операции:

1. Оставлять у себя ценную бумагу и ждать, пока она вырастет в цене.
2. Вы можете продать их обратно компании за бόльшую сумму, чем вы их покупали.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЦЕННЫХ БУМАГ:

Если у человека есть возможность продать ценные бумаги и положить их на вклад под определенный процент, то для экономистов стоит вопрос – когда именно продать ценную бумагу? Когда разница между разной стоимостью ценных бумаг станет меньше, чем фиксированные проценты с вклада?

Стоимость ценных бумаг может расти в соответствии с какой-либо функцией. Например, стоимость бумаги равна \(t^{2}\) тыс. рублей, где \(t\) – это количество лет. То есть в первый год ценная бумага стоит 1 тыс. рублей, во второй 4 тыс. рублей, в третий 9 и так далее. То есть рост стоимости ценных бумаг дан как функция от проходящего времени.

Катя купили ценные бумаги, стоимость которых равна \(t^{2}\) тыс. рублей в конце года \(t\) \((t = 1;2;\ldots)\). В конце любого года Катя может продать ценные бумаги и положить деньги, которые она с них получит, на вклад в банк под 50% годовых. В конце какого года Кате стоит продать ценные бумаги, чтобы получить наибольшую выгоду?

1. Для того чтобы понять, в какой момент выгоднее продавать ценные бумаги и класть деньги в банк, мы должны найти прибыль Кати за год, если она оставит ценную бумагу, и прибыль Кати за год, если она положит эти же деньги на вклад.

Составим схему, на которой будем отслеживать полученную разными способами прибыль за разные годы. В конце первого года стоимость ценой бумаги будет равна \(1^{1} = 1\). В этот момент мы можем её продать или оставить:

2. Будем рассматривать случай продажи и сохранения ценных бумаг и сразу считать, какую прибыль дадут оба этих действия через год.

В конце первого года:

• Если Катя оставит ценные бумаги, то в конце второго года их стоимость будет равна \(t^{2} = 2^{2} = 4\);
• Если Катя продаст ценные бумаги и положит их на вклад, то в конце второго года она получит \(1 \bullet 1,5 = 1,5\) тыс. рублей:

Очевидно, что продавать ценные бумаги в конце первого года не выгодно, так как через год они принесут больше прибыли, чем вклад.

3. Теперь, мы можем продать ценные бумаги в конце второго года уже за 4 тыс. рублей и положить их на вклад или подождать, пока их цена дальше будет расти как \(t^{2}\).

В конце второго года:

• Если их оставить, то в конце третьего года стоимость бумаг будет равна \(t^{2} = 3^{2} = 9\) тыс рублей;
• Если их продать и положить на вклад, то в конце третьего года Катя получит \(4 \bullet 1,5 = 6\) тыс. рублей:

Снова прибыль от ценных бумаг больше, чем прибыль от вклада. Тогда в конце второго года ценные бумаги продавать не выгодно.

4. Аналогично рассмотрим ситуацию, когда встанет выбор о продаже ценных бумаг в конце третьего года:

• Если оставить ценные бумаги, в конце четвертого года они будут стоить \(t^{2} = 4^{2} = 16\) тыс. рублей;
• Если их продать, через год Катя получит \(9 \bullet 1,5 = 13,5\) тыс. рублей:

Продавать бумаги в конце третьего года не выгодно.

5. В конце четвертого года:

• Если оставить ценные бумаги, через года они будут стоить \(t^{2} = 5^{2} = 25\) тыс. рублей;
• Если продать и положить деньги на вклад, через год получится \(16 \bullet 1,5 = 24\) тыс. рублей:

6. В конце пятого года:

• Если оставить ценные бумаги, через год они будут стоить \(t^{2} = 6^{2} = 36\) тыс. рублей;
• Если продать их и положить на вклад, через год Катя получит \(25 \bullet 1,5 = 37,5\) тыс. рублей:

Значит продавать ценные бумаги в конце пятого года – выгодно. Запишем ответ.

Ответ: 5.