Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Метод координат на плоскости Элементы планиметрии Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Виды треугольников Биссектриса Подобие фигур Медиана Отношения в геометрии Прямые и углы на плоскости Трапеция Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Квадрат Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Высота Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Скалярное произведение векторов Средняя линия Тригонометрия в геометрии Прямоугольник Равенство фигур Площадь круга и сектора круга Многоугольники Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Движения Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Окружнoсть и круг Симметрия Ромб Комбинации с окружностью
Стереометрия
Элементы и аксиомы стереометрии Призмы Параллельность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей
Числа и действия с ними
Правила счёта Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними НОК и НОД
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Экстремумы Смысл производной Кусочная функция Функции Функция квадратного корня Свойства функций Квадратичная функция Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Интеграл Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной
Реальная математика
Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Основы комбинаторики Экономические задачи. Кредиты Множества Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Комбинаторика Основы математической статистики
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Свойства степеней Степени

Модуль

Модуль числа а – это расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А с координатой a.

Модуль числа а обозначается как \(\left| a \right|\).

Рассмотрим координатную прямую:

  1. Найдем модуль числа 3. Чтобы это сделать, нужно посчитать, чему равно расстояние от начала координат до точки с координатой 3 (например А(3)):

\(\left| 3 \right| = 3\)

  1. Найдем модуль числа –3. Так же посчитаем расстояние от начала координат, но уже до точки с координатой –3 (например В(–3)):

Таким образом модуль числа –3 тоже равен трём единичным отрезкам:

\(\left| –3 \right| = 3\)

Так как модуль – это расстояние, то он не может быть отрицательным, и модули противоположных чисел равны:

\(\left| a \right| = \left| –a \right| = a\)

  1. Если мы попробуем найти модуль числа 0, то увидим, что от точки с координатой 0 до ночала координат нет расстояния, т.к. это одна и та же точка, значит:

\(\left| 0 \right| = 0\)

Исходя из предыдущих пунктов можно выделить общие правила для модуля:

  1. Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу.

  2. Для отрицательного числа модуль равен противоположному числу.

  3. Модули проивоположных чисел равны.

Итак, можно сказать, что \(\left| a \right| = a\), если число неотрицательное, и \(\left| a \right| = - a\), если число отрицательное. По-другому модуль называется абсолютной величиной числа.