Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Числа и действия с ними
Правила счёта Модуль Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Свойства степеней
Планиметрия
Параллелограммы Движения Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Медиана Средняя линия Прямоугольник Окружнoсть и круг Симметрия Площади четырёхугольников Векторы Теорема Пифагора Трапеция Ромб Высота Теорема Менелая и теорема Чевы Квадрат Многоугольники Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Отношения в геометрии Элементы планиметрии Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Скалярное произведение векторов Метод координат на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади
Стереометрия
Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Двугранный угол Векторы в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии
Анализ функций
Графики тригонометрических функций Линейная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Интеграл Свойства функций Первообразная Смысл производной Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Координатная плоскость Функции Экстремумы Правила дифференцирования Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции
Уравнения
Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Однородные уравнения Уравнения высших степеней Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Комбинаторика Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на отношения Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Геометрическая прогрессия
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ

Модуль

Модуль числа а – это расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А с координатой a.

Модуль числа а обозначается как \(\left| a \right|\).

Рассмотрим координатную прямую:

  1. Найдем модуль числа 3. Чтобы это сделать, нужно посчитать, чему равно расстояние от начала координат до точки с координатой 3 (например А(3)):

\(\left| 3 \right| = 3\)

  1. Найдем модуль числа –3. Так же посчитаем расстояние от начала координат, но уже до точки с координатой –3 (например В(–3)):

Таким образом модуль числа –3 тоже равен трём единичным отрезкам:

\(\left| –3 \right| = 3\)

Так как модуль – это расстояние, то он не может быть отрицательным, и модули противоположных чисел равны:

\(\left| a \right| = \left| –a \right| = a\)

  1. Если мы попробуем найти модуль числа 0, то увидим, что от точки с координатой 0 до ночала координат нет расстояния, т.к. это одна и та же точка, значит:

\(\left| 0 \right| = 0\)

Исходя из предыдущих пунктов можно выделить общие правила для модуля:

  1. Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу.

  2. Для отрицательного числа модуль равен противоположному числу.

  3. Модули проивоположных чисел равны.

Итак, можно сказать, что \(\left| a \right| = a\), если число неотрицательное, и \(\left| a \right| = - a\), если число отрицательное. По-другому модуль называется абсолютной величиной числа.