Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Делимость
Если числа \(a\) делится на b, то пишут \(a \vdots b\).
Например,
\(95 \vdots 5\), так как \(95 = 5 \bullet 19\)
СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ
1. Если a делится на b, то для любого числа k число ka делится на b.
\(a \vdots b \rightarrow ak \vdots b\)
2. Если a делится на c и b делится на c, то сумма, разность и произведение чисел a и b делится на c.
\(\ \left\{ \begin{matrix} a \vdots c \\ b \vdots c \\ \end{matrix} \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left( a + b \right) \vdots c \\ \left( a - b \right) \vdots c \\ (a \bullet b) \vdots c \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \)
3. Если a делится на b и b делится на c, то a делится на c.
\(\left\{ \begin{matrix} a \vdots b \\ b \vdots c \\ \end{matrix} \rightarrow \right.\ a \vdots c\)
4. Если a делится на b и c делится на d, то ac делится на bd.
\(\left\{ \begin{matrix} a \vdots b \\ c \vdots d \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow ac \vdots bd\)
ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.
Например,
Число 17 простое. Делители \(17:\ 1,\ 17\).
Число 9 составное. Делители \(9:\ 1,\ 3,\ 9\).
Единица не является ни простым, ни составным числом.
Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
-
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).
-
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.
-
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.
-
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.
-
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.
-
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).
-
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.
-
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
\(123456789\) делится на 3, так как \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\), а 45 делится на 3.
1452 делится на 11, так как \((1 + 5)\ –\ (4 + 2)\) делится на 11.
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
Пусть \(a\ и\ b \neq 0\) – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:
\(\left\{ \begin{matrix} a = \text{bc} + d \\ 0 \leq d < |b| \\ \end{matrix} \right.\ \)
От деления на b могут быть только остатки\(:\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\ldots,\ |b| - 1\).
\(19\ :\ 7\ = \ 2\ (ост.\ 5)\)
\(19\ = \ 7\ \bullet \ 2\ + \ 5\ \)
\(22\ :\ ( - 3)\ = \ - 7\ (ост.\ 1).\)
\(22\ = \ - 3\ \bullet \ ( - 7)\ + \ 1\)
\(- 22\ :\ 3\ = \ - 8\ (ост.\ 2)\)
\(- 22\ = \ 3\ \bullet \ ( - 8)\ + \ 2\)
ТЕОРЕМЫ
-
Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.
Например,
\(\left\{ \begin{matrix} 15:2 = 7\left( ост.\ 1 \right) \\ 16:2 = 8(ост.\ 0) \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left( 15 + 16 \right):2 = 15\left( ост.\ \mathbf{1} \right)\text{\ \ \ \ \ }\left( 1 + 0 \right):2 = 0(ост.\ \mathbf{1})\)
-
Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.
Например,
\(\left\{ \begin{matrix} 13:3 = 4\left( ост.\ 1 \right) \\ 20:3 = 6(ост.\ 2) \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left( 13 \bullet 20 \right):3 = 86\left( ост.\ \mathbf{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\left( 1 \bullet 2 \right):3 = 0(ост.\ \mathbf{2})\)