Отбор корней с помощью тригонометрического круга

В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.

«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА

1. Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.
2. Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.
3. Определяем корни, попадающие в эту дугу.
4. Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

1. Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:

2. При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:

3. Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.
4. Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от \(- \pi\) до \(\frac{3\pi}{2}\), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:

Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\);\(\ \frac{2\pi}{3}\).