Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Функция квадратного корня

Функция корня – это функция вида \(y = a\sqrt{\text{kx}},\) где\(\ a \neq 0;x \geq 0\ при\ k > 0;\ x \leq 0\ при\ k < 0\).

Графиком этой функции является перевернутая ветвь параболы.

В этом виде функции \(a = 1,\ k = 1.\)

С изменением коэффициента a меняется внешний вид функции.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ КОРНЯ:

В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА

\(\mathbf{a}\mathbf{\ }\)(при \(\mathbf{k}\mathbf{\ }\mathbf{> 0}\))

1. Область определения: \(D(y) \in \lbrack 0;\ + \infty)\)
2. Область значения:

При \(a\ > \ 0\ \)

\(E(y) = \lbrack 0;\ + \infty)\)

При \(a\ < \ 0\)

\(E(y) = (–\infty;\ 0\rbrack\)

3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна

При \(a > 0\) ограничена снизу и слева

При \(a < 0\) ограничена сверху и слева

4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(\ y_{наиб}\) :

\(Если\ a > 0,\ \)отсутствует

\(Если\ a < 0,\ при\ x = 0\)

\(\ y_{наим}:\)

\(Если\ a > 0,\ при\ x = 0\)

\(Если\ a < 0,\ \) отсутствует

5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0:\ \)При \(a > 0\)

\(y\ < \ 0\): При \(a\ < \ 0\)

6. Монотонность:

При \(a > 0\) возрастает

При \(a < 0\) убывает

7. Экстремумы: нет
8. Четность: Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность: не периодичная
10. Пересекает ось Ох В точке (\(0;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке (\(0;0)\)

В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА

\(\mathbf{\ }\mathbf{k}\) (при \(\mathbf{a}\mathbf{> 0}\))

1. Область определения:

\(При\ k > 0\ D(y) \in \lbrack 0;\ + \infty)\ \)

\(При\ k < 0\ D(y) \in (–\infty;0\rbrack\)

2. Область значения: \(E(y) = \lbrack 0;\ + \infty)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна

При \(k > 0\) ограничена снизу и слева

При \(k < 0\) ограничена снизу и справа

4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб}:\ \)отсутствует

\(y_{наим}\ при:\ x = 0\)

5. Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) при: \(x\mathbb{\in R}\)
6. Монотонность:

При \(k > 0\) возрастает

При \(k < 0\) убывает

7. Экстремумы: нет
8. Четность: Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность: не периодичная
10. Пересекает ось Ох В точке \((0;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ВИД ФУНКЦИИ КОРНЯ:

Коэффициент a:

– При увеличении коэффициента a по модулю функция приближается к оси Оу.

– При уменьшении коэффициента a по модулю функция приближается к оси Ох.

– При \(a > 0\) график находится в I четверти

(\(y\ \geq \ 0\)).

– При \(a < 0\) график находится в IV четверти

(\(y\ \leq \ 0\)).

Коэффициент k:

– При \(k > 0\) график находится в l четверти

(\(x\ \geq \ 0\)).

– При \(k < 0\) график находится во ll четверти

(\(x\ \leq \ 0\)).