Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Векторы Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Метод координат на плоскости Движения Серединный перпендикуляр Тригонометрия в геометрии Виды треугольников Площади четырёхугольников Элементы планиметрии Треугольники. Площади Симметрия Параллелограммы Комбинации с окружностью Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Прямые и углы на плоскости Трапеция Биссектриса Многоугольники Теорема Пифагора Ромб Высота Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Квадрат Простейшие расстояния на плоскости Окружнoсть и круг
Числа и действия с ними
Округление дробей Правила счёта Координатная прямая НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Делимость
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Многочлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Стереометрия
Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Призмы Двугранный угол Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Тела вращения Векторы в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве
Анализ функций
Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функции Квадратичная функция Свойства функций Первообразная Графики тригонометрических функций Линейная функция Смысл производной Кусочная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Экстремумы Правила дифференцирования
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Множества Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Основы математической статистики Прикладные задачи Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Основы комбинаторики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде
Уравнения
Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения

Основы работы с параметром

Параметр – это буквенный коэффициент в уравнении.

Параметр – это всегда число, а не переменная, но мы не знаем, чему конкретно равен параметр. Например,

\(y = kx + b\)

это уравнение прямой, в котором \(x\) – переменная, \(y\) – зависимая от неё функция, а \(k\) и \(b\) – коэффициенты. Это значит, что \(k\) и \(b\) – какие-то числа, параметры. Когда мы видим конкретное уравнение прямой, например,

\(y = - 5x + 8\)

мы можем сказать, что в данном случае параметр \(k = - 5\), а параметр \(b = 8\). В зависимости от параметров функция может по-разному себя вести, но сам вид линейной функции не поменяется.

УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРОМ:

Существуют уравнения, где есть две неизвестных: \(x\) – корень уравнения и \(a\) (или любая другая буква) – параметр. Решение таких уравнений сводится не к поиску конкретных корней, а к анализу их количества. Для этого мы предполагаем, чему будут равны корни уравнения при определенных параметрах.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

  1. Записываем все ограничения уравнения для корней – чему не может быт равен \(\mathbf{x}\).

  2. Преобразовываем уравнение так, чтобы с одной стороны уравнения остались только иксы с коэффициентами.

  3. Предполагаем, что коэффициент перед \(\mathbf{x}\) равен нулю. Выражаем из этого коэффициента параметр после чего выражаем корни уравнения.

  4. Предполагаем, что коэффициент не равен нулю и аналогично выражаем корни.

  5. Если не удается найти корни в пунктах 3 или 4 из-за алгебраических ограничений или нелогичных выводов, то корней нет. Если корень равен выражению, которое не нарушает законы математики – корень один.

  6. Если у уравнения есть корни, проверим их на ограничения для \(\mathbf{x}\) из пункта 1. Находим те параметры, при которых корни равны этим ограничениям. При таких параметрах корней тоже нет.

Рассмотрим примеры.

Пример №1:

Сколько корней имеет уравнение

\(ax = 3a + 7\)

  1. Данное уравнение не имеет ограничений для \(x\), поэтому перейдем ко второму пункту.

  2. Начнем рассуждать. В случае работы с параметром нужно предположить, как мы будем искать корень, если коэффициент при икс равен нулю и если не равен ему. В данном случае коэффициент при иксе и есть параметр. Допустим, \(a = 0\), тогда уравнение будет иметь вид:

\(0 = 7\)

Это невозможно, из чего делаем вывод, что при \(a = 0\) корней нет.

  1. Теперь представим, что параметр не равен нулю, а равен любому другому числу \(a \neq 0\), тогда выразим икс:

\(x = \frac{3a + 7}{a}\)

При условии, что \(a \neq 0\), а равно обычному числу, \(x\) будет принимать одно единственное значение.

  1. Так мы нашли, при каких параметрах уравнение будет иметь один корень, нужно проверить этот корень на ограничения. Этих ограничений из п.1 нет, значит мы полностью проанализировали уравнение и узнали, сколько корней оно будет иметь во всех возможных случаях изменения параметра:

\({корней\ нет\ при\ a = 0\ }{один\ корень\ \frac{3a + 7}{a}\ при\ a \neq 0\ }\)

Ответ так и запишем.

Ответ: \(корней\ нет\ при\ a = 0\); \(один\ корень\ \frac{3a + 7}{a}\ при\ a \neq 0\).

При работе с линейными уравнениями нет ограничений для переменных и для параметра. Сейчас мы рассмотрим дробно-рациональное уравнение с параметром, где на каждом этапе нужно помнить об ограничениях в знаменателе.

Пример №2:

Сколько корней имеет уравнение

\(\frac{4}{x - 3} - \frac{k}{2} = 2\)

  1. Для начала нужно выписать все ограничения для переменной. Знаменатель не может быть равен нулю, значит:

\(x - 3 \neq 0\)

\(x \neq 3\)

\(\frac{8}{2\left( x - 3 \right)} - \frac{k\left( x - 3 \right)}{2\left( x - 3 \right)} = \frac{4\left( x - 3 \right)}{2(x - 3)}\)

\(\frac{8 - kx + k3}{2(x - 3)} = \frac{4x - 12}{2(x - 3)}\)

Ограничение для переменной мы записали, поэтому смело можно убрать знаменатель и приравнять числители. Про ограничение не забывать!

\(8 - kx + 3k = 4x - 12\)

  1. Вправо перенесем все с иксами, а влево перенесем все остальные числа:

\(8 + 3k + 12 = 4x + kx\)

\(20 + 3k = x\left( 4 + k \right)\)

  1. Мы снова пришли к ситуации, когда \(x\) умножается на какое-то число \((4 + k)\), значение которого мы не знаем, т. к. в нём есть параметр. Снова анализируем количество корней, если весь коэффициент перед \(x\) равен нулю, то есть:

\(4 + k = 0\)

\(k = - 4\)

тогда

\(x = \frac{20 + 3k}{0}\)

Чего не может быть, значит корней нет.

  1. Рассмотрим случай, когда \(4 + k \neq 0\):

\(k \neq - 4\)

тогда

\(x = \frac{20 + 3k}{k}\)

Получается, что существует один единственный корень.

  1. Мы не учли то, что единственным корнем может оказаться число 3, но в начале мы записали ограничение \(x \neq 3\). Поэтому уравнение будет иметь один корень \(\ x = \frac{20 + 3k}{k}\) при \(k \neq - 4\), если

\(x = \frac{20 + 3k}{k} \neq 3\)

Найдем такой параметр \(k\), при котором \(x = 3\). Нужно проверить, есть ли такой параметр, и если есть – исключить его:

\(\frac{20 + 3k}{k} = 3\)

\(20 + 3k = 3k\)

\(20 = 0\)

Что невозможно, значит такого параметра не существует, и уравнение имеет ровно один корень без ограничений, кроме \(k \neq - 4\). Запишем ответ.

Ответ: корней нет при \(k = - 4\); один корень \(x = \frac{20 + 3k}{k}\) при \(k \neq - 4\).