Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Формулы и выражения
Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Многочлены Тригонометрический круг Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Элементы планиметрии Трапеция Биссектриса Движения Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Ромб Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Треугольники. Площади Тригонометрия в геометрии Многоугольники Медиана Окружнoсть и круг Средняя линия Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Симметрия Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Квадрат Подобие фигур Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Векторы Скалярное произведение векторов Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Высота Прямоугольник Площадь круга и сектора круга
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Пирамиды Метод координат в пространстве Призмы Параллельность прямых и плоскостей
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Множества Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Вероятность Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты
Уравнения
Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Однородные уравнения Уравнения в целых числах Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Правила счёта Модуль
Анализ функций
Кусочная функция Графическое применение производной Свойства функций Первообразная Квадратичная функция Правила дифференцирования Координатная плоскость Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Смысл производной Функция квадратного корня Функции Экстремумы Преобразование графиков функции

Основы работы с параметром

Параметр – это буквенный коэффициент в уравнении.

Параметр – это всегда число, а не переменная, но мы не знаем, чему конкретно равен параметр. Например,

\(y = kx + b\)

это уравнение прямой, в котором \(x\) – переменная, \(y\) – зависимая от неё функция, а \(k\) и \(b\) – коэффициенты. Это значит, что \(k\) и \(b\) – какие-то числа, параметры. Когда мы видим конкретное уравнение прямой, например,

\(y = - 5x + 8\)

мы можем сказать, что в данном случае параметр \(k = - 5\), а параметр \(b = 8\). В зависимости от параметров функция может по-разному себя вести, но сам вид линейной функции не поменяется.

УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРОМ:

Существуют уравнения, где есть две неизвестных: \(x\) – корень уравнения и \(a\) (или любая другая буква) – параметр. Решение таких уравнений сводится не к поиску конкретных корней, а к анализу их количества. Для этого мы предполагаем, чему будут равны корни уравнения при определенных параметрах.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

  1. Записываем все ограничения уравнения для корней – чему не может быт равен \(\mathbf{x}\).

  2. Преобразовываем уравнение так, чтобы с одной стороны уравнения остались только иксы с коэффициентами.

  3. Предполагаем, что коэффициент перед \(\mathbf{x}\) равен нулю. Выражаем из этого коэффициента параметр после чего выражаем корни уравнения.

  4. Предполагаем, что коэффициент не равен нулю и аналогично выражаем корни.

  5. Если не удается найти корни в пунктах 3 или 4 из-за алгебраических ограничений или нелогичных выводов, то корней нет. Если корень равен выражению, которое не нарушает законы математики – корень один.

  6. Если у уравнения есть корни, проверим их на ограничения для \(\mathbf{x}\) из пункта 1. Находим те параметры, при которых корни равны этим ограничениям. При таких параметрах корней тоже нет.

Рассмотрим примеры.

Пример №1:

Сколько корней имеет уравнение

\(ax = 3a + 7\)

  1. Данное уравнение не имеет ограничений для \(x\), поэтому перейдем ко второму пункту.

  2. Начнем рассуждать. В случае работы с параметром нужно предположить, как мы будем искать корень, если коэффициент при икс равен нулю и если не равен ему. В данном случае коэффициент при иксе и есть параметр. Допустим, \(a = 0\), тогда уравнение будет иметь вид:

\(0 = 7\)

Это невозможно, из чего делаем вывод, что при \(a = 0\) корней нет.

  1. Теперь представим, что параметр не равен нулю, а равен любому другому числу \(a \neq 0\), тогда выразим икс:

\(x = \frac{3a + 7}{a}\)

При условии, что \(a \neq 0\), а равно обычному числу, \(x\) будет принимать одно единственное значение.

  1. Так мы нашли, при каких параметрах уравнение будет иметь один корень, нужно проверить этот корень на ограничения. Этих ограничений из п.1 нет, значит мы полностью проанализировали уравнение и узнали, сколько корней оно будет иметь во всех возможных случаях изменения параметра:

\({корней\ нет\ при\ a = 0\ }{один\ корень\ \frac{3a + 7}{a}\ при\ a \neq 0\ }\)

Ответ так и запишем.

Ответ: \(корней\ нет\ при\ a = 0\); \(один\ корень\ \frac{3a + 7}{a}\ при\ a \neq 0\).

При работе с линейными уравнениями нет ограничений для переменных и для параметра. Сейчас мы рассмотрим дробно-рациональное уравнение с параметром, где на каждом этапе нужно помнить об ограничениях в знаменателе.

Пример №2:

Сколько корней имеет уравнение

\(\frac{4}{x - 3} - \frac{k}{2} = 2\)

  1. Для начала нужно выписать все ограничения для переменной. Знаменатель не может быть равен нулю, значит:

\(x - 3 \neq 0\)

\(x \neq 3\)

\(\frac{8}{2\left( x - 3 \right)} - \frac{k\left( x - 3 \right)}{2\left( x - 3 \right)} = \frac{4\left( x - 3 \right)}{2(x - 3)}\)

\(\frac{8 - kx + k3}{2(x - 3)} = \frac{4x - 12}{2(x - 3)}\)

Ограничение для переменной мы записали, поэтому смело можно убрать знаменатель и приравнять числители. Про ограничение не забывать!

\(8 - kx + 3k = 4x - 12\)

  1. Вправо перенесем все с иксами, а влево перенесем все остальные числа:

\(8 + 3k + 12 = 4x + kx\)

\(20 + 3k = x\left( 4 + k \right)\)

  1. Мы снова пришли к ситуации, когда \(x\) умножается на какое-то число \((4 + k)\), значение которого мы не знаем, т. к. в нём есть параметр. Снова анализируем количество корней, если весь коэффициент перед \(x\) равен нулю, то есть:

\(4 + k = 0\)

\(k = - 4\)

тогда

\(x = \frac{20 + 3k}{0}\)

Чего не может быть, значит корней нет.

  1. Рассмотрим случай, когда \(4 + k \neq 0\):

\(k \neq - 4\)

тогда

\(x = \frac{20 + 3k}{k}\)

Получается, что существует один единственный корень.

  1. Мы не учли то, что единственным корнем может оказаться число 3, но в начале мы записали ограничение \(x \neq 3\). Поэтому уравнение будет иметь один корень \(\ x = \frac{20 + 3k}{k}\) при \(k \neq - 4\), если

\(x = \frac{20 + 3k}{k} \neq 3\)

Найдем такой параметр \(k\), при котором \(x = 3\). Нужно проверить, есть ли такой параметр, и если есть – исключить его:

\(\frac{20 + 3k}{k} = 3\)

\(20 + 3k = 3k\)

\(20 = 0\)

Что невозможно, значит такого параметра не существует, и уравнение имеет ровно один корень без ограничений, кроме \(k \neq - 4\). Запишем ответ.

Ответ: корней нет при \(k = - 4\); один корень \(x = \frac{20 + 3k}{k}\) при \(k \neq - 4\).