Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Анализ функций
Первообразная Графики тригонометрических функций Экстремумы Интеграл Свойства функций Квадратичная функция Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Кусочная функция Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Правила дифференцирования Линейная функция Функции Смысл производной Функция обратной пропорциональности
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Логарифмические уравнения Линейные уравнения Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Числа и действия с ними
НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямые и углы на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Равенство фигур Отношения в геометрии Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Квадрат Многоугольники Площади четырёхугольников Ромб Биссектриса Четыре замечательные точки треугольника Средняя линия Трапеция Медиана Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Треугольники. Площади Векторы Движения Прямоугольник Площадь круга и сектора круга Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Высота Элементы планиметрии Метод координат на плоскости
Стереометрия
Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Призмы Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Сечения в телах вращения
Реальная математика
Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Сложные проценты Основы математической статистики Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Экономические задачи. Ценные бумаги Арифметическая прогрессия Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Текстовые задачи на производительность
Неравенства
Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства

Основы работы с параметром

Параметр – это буквенный коэффициент в уравнении.

Параметр – это всегда число, а не переменная, но мы не знаем, чему конкретно равен параметр. Например,

\(y = kx + b\)

это уравнение прямой, в котором \(x\) – переменная, \(y\) – зависимая от неё функция, а \(k\) и \(b\) – коэффициенты. Это значит, что \(k\) и \(b\) – какие-то числа, параметры. Когда мы видим конкретное уравнение прямой, например,

\(y = - 5x + 8\)

мы можем сказать, что в данном случае параметр \(k = - 5\), а параметр \(b = 8\). В зависимости от параметров функция может по-разному себя вести, но сам вид линейной функции не поменяется.

УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРОМ:

Существуют уравнения, где есть две неизвестных: \(x\) – корень уравнения и \(a\) (или любая другая буква) – параметр. Решение таких уравнений сводится не к поиску конкретных корней, а к анализу их количества. Для этого мы предполагаем, чему будут равны корни уравнения при определенных параметрах.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

  1. Записываем все ограничения уравнения для корней – чему не может быт равен \(\mathbf{x}\).

  2. Преобразовываем уравнение так, чтобы с одной стороны уравнения остались только иксы с коэффициентами.

  3. Предполагаем, что коэффициент перед \(\mathbf{x}\) равен нулю. Выражаем из этого коэффициента параметр после чего выражаем корни уравнения.

  4. Предполагаем, что коэффициент не равен нулю и аналогично выражаем корни.

  5. Если не удается найти корни в пунктах 3 или 4 из-за алгебраических ограничений или нелогичных выводов, то корней нет. Если корень равен выражению, которое не нарушает законы математики – корень один.

  6. Если у уравнения есть корни, проверим их на ограничения для \(\mathbf{x}\) из пункта 1. Находим те параметры, при которых корни равны этим ограничениям. При таких параметрах корней тоже нет.

Рассмотрим примеры.

Пример №1:

Сколько корней имеет уравнение

\(ax = 3a + 7\)

  1. Данное уравнение не имеет ограничений для \(x\), поэтому перейдем ко второму пункту.

  2. Начнем рассуждать. В случае работы с параметром нужно предположить, как мы будем искать корень, если коэффициент при икс равен нулю и если не равен ему. В данном случае коэффициент при иксе и есть параметр. Допустим, \(a = 0\), тогда уравнение будет иметь вид:

\(0 = 7\)

Это невозможно, из чего делаем вывод, что при \(a = 0\) корней нет.

  1. Теперь представим, что параметр не равен нулю, а равен любому другому числу \(a \neq 0\), тогда выразим икс:

\(x = \frac{3a + 7}{a}\)

При условии, что \(a \neq 0\), а равно обычному числу, \(x\) будет принимать одно единственное значение.

  1. Так мы нашли, при каких параметрах уравнение будет иметь один корень, нужно проверить этот корень на ограничения. Этих ограничений из п.1 нет, значит мы полностью проанализировали уравнение и узнали, сколько корней оно будет иметь во всех возможных случаях изменения параметра:

\({корней\ нет\ при\ a = 0\ }{один\ корень\ \frac{3a + 7}{a}\ при\ a \neq 0\ }\)

Ответ так и запишем.

Ответ: \(корней\ нет\ при\ a = 0\); \(один\ корень\ \frac{3a + 7}{a}\ при\ a \neq 0\).

При работе с линейными уравнениями нет ограничений для переменных и для параметра. Сейчас мы рассмотрим дробно-рациональное уравнение с параметром, где на каждом этапе нужно помнить об ограничениях в знаменателе.

Пример №2:

Сколько корней имеет уравнение

\(\frac{4}{x - 3} - \frac{k}{2} = 2\)

  1. Для начала нужно выписать все ограничения для переменной. Знаменатель не может быть равен нулю, значит:

\(x - 3 \neq 0\)

\(x \neq 3\)

\(\frac{8}{2\left( x - 3 \right)} - \frac{k\left( x - 3 \right)}{2\left( x - 3 \right)} = \frac{4\left( x - 3 \right)}{2(x - 3)}\)

\(\frac{8 - kx + k3}{2(x - 3)} = \frac{4x - 12}{2(x - 3)}\)

Ограничение для переменной мы записали, поэтому смело можно убрать знаменатель и приравнять числители. Про ограничение не забывать!

\(8 - kx + 3k = 4x - 12\)

  1. Вправо перенесем все с иксами, а влево перенесем все остальные числа:

\(8 + 3k + 12 = 4x + kx\)

\(20 + 3k = x\left( 4 + k \right)\)

  1. Мы снова пришли к ситуации, когда \(x\) умножается на какое-то число \((4 + k)\), значение которого мы не знаем, т. к. в нём есть параметр. Снова анализируем количество корней, если весь коэффициент перед \(x\) равен нулю, то есть:

\(4 + k = 0\)

\(k = - 4\)

тогда

\(x = \frac{20 + 3k}{0}\)

Чего не может быть, значит корней нет.

  1. Рассмотрим случай, когда \(4 + k \neq 0\):

\(k \neq - 4\)

тогда

\(x = \frac{20 + 3k}{k}\)

Получается, что существует один единственный корень.

  1. Мы не учли то, что единственным корнем может оказаться число 3, но в начале мы записали ограничение \(x \neq 3\). Поэтому уравнение будет иметь один корень \(\ x = \frac{20 + 3k}{k}\) при \(k \neq - 4\), если

\(x = \frac{20 + 3k}{k} \neq 3\)

Найдем такой параметр \(k\), при котором \(x = 3\). Нужно проверить, есть ли такой параметр, и если есть – исключить его:

\(\frac{20 + 3k}{k} = 3\)

\(20 + 3k = 3k\)

\(20 = 0\)

Что невозможно, значит такого параметра не существует, и уравнение имеет ровно один корень без ограничений, кроме \(k \neq - 4\). Запишем ответ.

Ответ: корней нет при \(k = - 4\); один корень \(x = \frac{20 + 3k}{k}\) при \(k \neq - 4\).