Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

При этом задаются ограничения: \(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\). Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Вычислите: \(\log_{3}27\), \(\log_{\frac{1}{3}}27\).

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27:

\(\log_{3}27 = 3\)

2. При возведении \(\frac{1}{3}\) в –3 степень получим 27, значит:

\(\log_{\frac{1}{3}}27 = \ –3\)

Ответ: 3; -3.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА:

1. Логарифм 1 по любому основанию равен 0.

\(\log_{a}1 = 0\)

2. Логарифм числа по равному себе основанию равен 1.

\(\log_{a}a = 1\)

3. Основное логарифмическое тождество. При возведении основания в степень логарифма получается логарифмическое выражение. \(Место\ для\ уравнения.\)

\(a^{\log_{a}b} = b\)

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

\(\log_{a}\text{bc} = \log_{a}b + \log_{a}c\)

5. Логарифм частного равен разности логарифмов.

\(\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b\ –\ \log_{a}c\)

6. Показатель степени можно выносить из логарифмического выражения за знак логарифма.

\(\log_{a}b^{m} = m\log_{a}b\)

7. Показатель степени можно выносить из основания логарифма за знак логарифма, возводя его в –1 степень.

\(\log_{a^{n}}b = \frac{1}{n}\log_{a}b\)

8. Можно представить логарифм в виде частного логарифма с новым основанием.

\(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

9. Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, то получится логарифм, обратный исходному.

\(\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЕ ЛОГАРИФМА

1. Логарифм по основанию 10 записывается

как \(\lg\): \(\log_{10}a = lga\)

2. Логарифм по основанию e (\(e \approx 2,72\)) записывается

как \(\ln\): \(\log_{e}a = lna\)

Используем рассмотренные свойства для решения задачи.

Вычислите \(\log_{5}3125\).

1. Представим 3125 как 5 в некоторой степени:

\(3125 = 5^{5}\)

2. Вынесем степень из-под знака логарифма (по свойству из п. 6):

\(\log_{5}3125 = \log_{5}5^{5} = {5\text{\ log}_{5}}5\)

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1 (по п. 1):

\(5\ \log_{5}5 = 5\)

Ответ: 5.

Вычислите \(5^{2 + \log_{5}3}\).

1. Воспользуемся свойством степеней:

\(5^{2 + \log_{5}3} = 5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }}\)

2. Используем основное логарифмическое тождество (п.3):

\(5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }} = 25 \cdot 3 = 75\)

Ответ: 75.

Вычислите \(\lg 125 + \lg 8\).

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов (п. 4):

\(\lg 125 + \lg 8 = \lg 1000\)

2. Представим \(1000 = 10^{3}\) и вынесем 3 за знак логарифма:

\(\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\ \lg 10\)

3. Воспользуемся тем, что \(\lg 10 = 1\).

Ответ: 3.

Вычислите \(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3}\).

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов (п. 4):

\(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{2\lg 2 + \lg 3}\)

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма (п.6):

\(2\lg 2 = \lg 2^{2} = \lg 4\)

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя (п. 4):

\(\frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 12}\)

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12 (п.8):

\(\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12}144\)

5. Представим \(144 = 12^{2}\), вынесем степень за знак логарифма (п. 6) и воспользуемся соотношением \(\log_{12}12 = 1\) (п. 2):

\(\log_{12}144 = \log_{12}12^{2} = 2\log_{12}12 = 2\)

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами могут встречаться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Вычислите \(\log_{125}\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}}\).

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

\(\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}} = a^{2 + 1 - 3} = a^{0} = 1\)

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0 (п. 1):

\(\log_{125}1 = 0\)

Ответ: 0.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

– При \(a > 1\) логарифмическая функция монотонно возрастает:

На данном графике \(a = 2.\)

– При\(\ 0 < a < 1\) логарифмическая функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ: