Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Свойства функций Первообразная Правила дифференцирования Смысл производной Функция квадратного корня Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Графическое применение производной Координатная плоскость Преобразование графиков функции Квадратичная функция Линейная функция Кусочная функция Функции Экстремумы
Реальная математика
Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Геометрическая прогрессия Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Вероятность Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на проценты
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
Правила счёта Модуль НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Скалярное произведение векторов Векторы Средняя линия Биссектриса Высота Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Элементы планиметрии Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Движения Прямоугольник Площадь круга и сектора круга Квадрат Параллелограммы Ромб Тригонометрия в геометрии Метод координат на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Медиана Симметрия Трапеция Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Треугольники. Площади Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Виды треугольников Многоугольники
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Призмы Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Тела вращения
Уравнения
Методы решения уравнений Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ

Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Логарифм числа b по основанию a (\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\mathbf{= c}\)) – это такой показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (то есть ac = b).

При этом задаются ограничения: \(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\). Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Пример №1:

Вычислите: \(\log_{3}27\), \(\log_{\frac{1}{3}}27\).

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27:

\(\log_{3}27 = 3\)

2. При возведении \(\frac{1}{3}\) в –3 степень получим 27, значит:

\(\log_{\frac{1}{3}}27 = \ –3\)

Ответ: 3; -3.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА:

  1. Логарифм 1 по любому основанию равен 0.

\(\log_{a}1 = 0\)

  1. Логарифм числа по равному себе основанию равен 1.

\(\log_{a}a = 1\)

  1. Основное логарифмическое тождество. При возведении основания в степень логарифма получается логарифмическое выражение. \(Место\ для\ уравнения.\)

\(a^{\log_{a}b} = b\)

  1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

\(\log_{a}\text{bc} = \log_{a}b + \log_{a}c\)

  1. Логарифм частного равен разности логарифмов.

\(\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b\ –\ \log_{a}c\)

  1. Показатель степени можно выносить из логарифмического выражения за знак логарифма.

\(\log_{a}b^{m} = m\log_{a}b\)

  1. Показатель степени можно выносить из основания логарифма за знак логарифма, возводя его в –1 степень.

\(\log_{a^{n}}b = \frac{1}{n}\log_{a}b\)

  1. Можно представить логарифм в виде частного логарифма с новым основанием.

\(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

  1. Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, то получится логарифм, обратный исходному.

\(\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЕ ЛОГАРИФМА

  1. Логарифм по основанию 10 записывается

как \(\lg\): \(\log_{10}a = lga\)

  1. Логарифм по основанию e (\(e \approx 2,72\)) записывается

как \(\ln\): \(\log_{e}a = lna\)

Используем рассмотренные свойства для решения задачи.

Пример №2:

Вычислите \(\log_{5}3125\).

1. Представим 3125 как 5 в некоторой степени:

\(3125 = 5^{5}\)

2. Вынесем степень из-под знака логарифма (по свойству из п. 6):

\(\log_{5}3125 = \log_{5}5^{5} = {5\text{\ log}_{5}}5\)

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1 (по п. 1):

\(5\ \log_{5}5 = 5\)

Ответ: 5.

Пример №3:

Вычислите \(5^{2 + \log_{5}3}\).

1. Воспользуемся свойством степеней:

\(5^{2 + \log_{5}3} = 5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }}\)

2. Используем основное логарифмическое тождество (п.3):

\(5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }} = 25 \cdot 3 = 75\)

Ответ: 75.

Пример №4:

Вычислите \(\lg 125 + \lg 8\).

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов (п. 4):

\(\lg 125 + \lg 8 = \lg 1000\)

2. Представим \(1000 = 10^{3}\) и вынесем 3 за знак логарифма:

\(\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\ \lg 10\)

3. Воспользуемся тем, что \(\lg 10 = 1\).

Ответ: 3.

Пример №5:

Вычислите \(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3}\).

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов (п. 4):

\(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{2\lg 2 + \lg 3}\)

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма (п.6):

\(2\lg 2 = \lg 2^{2} = \lg 4\)

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя (п. 4):

\(\frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 12}\)

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12 (п.8):

\(\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12}144\)

5. Представим \(144 = 12^{2}\), вынесем степень за знак логарифма (п. 6) и воспользуемся соотношением \(\log_{12}12 = 1\) (п. 2):

\(\log_{12}144 = \log_{12}12^{2} = 2\log_{12}12 = 2\)

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами могут встречаться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример №6:

Вычислите \(\log_{125}\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}}\).

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

\(\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}} = a^{2 + 1 - 3} = a^{0} = 1\)

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0 (п. 1):

\(\log_{125}1 = 0\)

Ответ: 0.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

Логарифмическая функция – это функция вида \(y = \log_{a}x\), где \(a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0\).

– При \(a > 1\) логарифмическая функция монотонно возрастает:

На данном графике \(a = 2.\)

– При\(\ 0 < a < 1\) логарифмическая функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y) = (0; + \infty)\)
2. Область значения: \(E(y\mathbb{) = R}\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена слева
4. Монотонность:

Возрастает при

\(a\ > \ 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
5. Четность: Ни четная, ни нечетная
6. Периодичность: Не периодичная
7. Пересекает ось Ох в точке (1; 0)
8. Пересекает ось Оу Не пересекает ось