Формулы тригонометрии
Основные тригонометрические формулы:
s i n 2 α + c o s 2 α = 1 sin²\alpha\ + \ cos²\alpha\ = \ 1 s i n 2 α + co s 2 α = 1
t g a = sin a cos a tg\ a = \frac{\sin a}{\cos a} t g a = c o s a s i n a , a ≠ π 2 + π n , n ∈ Z a \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z a = 2 π + πn , n ∈ Z
c t g a = cos a sin a , a ≠ π n , n ∈ Z ctg\ a = \frac{\cos a}{\sin\text{a\ }},\ a \neq \pi n,\ n \in Z c t g a = s i n a c o s a , a = πn , n ∈ Z
t g a ⋅ c t g a = 1 , a ≠ πn 2 , n ∈ Z tg\ a \cdot ctg\ a = 1,\ a \neq \frac{\text{πn}}{2},\ n \in Z t g a ⋅ c t g a = 1 , a = 2 πn , n ∈ Z
1 + t g 2 a = 1 cos 2 a , a ≠ π 2 , n ∈ Z 1 + tg^{2}a = \frac{1}{\cos^{2}a},\ a \neq \frac{\pi}{2},\ n \in Z 1 + t g 2 a = c o s 2 a 1 , a = 2 π , n ∈ Z
1 + c t g 2 a = 1 sin 2 a , a ≠ π n , n ∈ Z 1 + ctg^{2}a = \frac{1}{\sin^{2}a},\ a \neq \pi n,\ n \in Z 1 + c t g 2 a = s i n 2 a 1 , a = πn , n ∈ Z
Пример:
Найти значение выражения: 5 sin 2 5 x + 5 cos 2 5 x 5\sin^{2}{5x\ } + 5\cos^{2}{5x} 5 sin 2 5 x + 5 cos 2 5 x
Решение.
Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:
sin 2 5 x + cos 2 5 x = 1 \sin^{2}{5x\ } + \cos^{2}{5x} = 1 sin 2 5 x + cos 2 5 x = 1
5 sin 2 5 x + 5 cos 2 5 x = 5 ( sin 2 5 x + cos 2 5 x ) = 5 ⋅ 1 = 5 5\sin^{2}{5x\ } + 5\cos^{2}{5x} = 5\left( \sin^{2}{5x} + \cos^{2}{5x} \right) = 5 \cdot 1 = 5 5 sin 2 5 x + 5 cos 2 5 x = 5 ( sin 2 5 x + cos 2 5 x ) = 5 ⋅ 1 = 5
Пример:
Найти значение выражения cos 2 x 1 + t g 2 x \frac{\cos^{2}x}{1 + tg^{2}x} 1 + t g 2 x c o s 2 x cos x = 1 2 \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} cos x = 2 1
Решение.
Из основного тригонометрического тождества si n 2 α + c o s 2 α = 1 \text{si}n^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1\ si n 2 α + co s 2 α = 1
1 + t g 2 a = 1 cos 2 a , 1 + tg^{2}a = \frac{1}{\cos^{2}a},\ 1 + t g 2 a = c o s 2 a 1 ,
cos 2 x 1 + t g 2 x = cos 2 x 1 cos 2 a = cos 4 x = ( 1 2 ) 4 = 1 4 = 0 , 25 \frac{\cos^{2}x}{1 + tg^{2}x} = \frac{\cos^{2}x}{\frac{1}{\cos^{2}a}} = \cos^{4}x = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{4} = \frac{1}{4} = 0,25 1 + t g 2 x c o s 2 x = c o s 2 a 1 c o s 2 x = cos 4 x = ( 2 1 ) 4 = 4 1 = 0 , 25
Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов:
Синус суммы s i n ( α + β ) = s i n α ⋅ c o s β + c o s α ⋅ s i n β sin(\alpha\ + \ \beta)\ = \ sin\alpha \cdot cos\beta\ + \ cos\alpha \cdot sin\beta s in ( α + β ) = s in α ⋅ cos β + cos α ⋅ s in β
Синус разности s i n ( α − β ) = s i n α ⋅ c o s β − c o s α ⋅ s i n β sin(\alpha\ - \ \beta)\ = \ sin\alpha \cdot cos\beta\ - \ cos\alpha \cdot sin\beta s in ( α − β ) = s in α ⋅ cos β − cos α ⋅ s in β
Косинус суммы c o s ( α + β ) = c o s α ⋅ c o s β – s i n α ⋅ s i n β cos(\alpha\ + \ \beta)\ = \ cos\alpha \cdot cos\beta\ –\ sin\alpha \cdot sin\beta cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β – s in α ⋅ s in β
Косинус разности c o s ( α – β ) = c o s α ⋅ c o s β + s i n α ⋅ s i n β cos(\alpha\ –\ \beta)\ = \ cos\alpha \cdot cos\beta\ + \ sin\alpha \cdot sin\beta cos ( α – β ) = cos α ⋅ cos β + s in α ⋅ s in β
Тангенс суммы tg ( α + β ) = t g α + t g β 1 − t g α ⋅ t g β , α , β , α + β ≠ π 2 + π n , n ∈ Z \text{tg}\left( \alpha + \beta \right) = \frac{tg\ \alpha + tg\ \beta}{1 - tg\ \alpha \cdot tg\ \beta},\ \alpha,\ \beta,\ \alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z tg ( α + β ) = 1 − t g α ⋅ t g β t g α + t g β , α , β , α + β = 2 π + πn , n ∈ Z
Тангенс разности tg ( α − β ) = t g α − t g β 1 + t g α ⋅ t g β , α , β , α + β ≠ π 2 + π n , n ∈ Z \text{tg}\left( \alpha - \beta \right) = \frac{tg\ \alpha - tg\ \beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\ \beta},\ \ \alpha,\ \beta,\ \alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z tg ( α − β ) = 1 + t gα ⋅ t g β t g α − t g β , α , β , α + β = 2 π + πn , n ∈ Z
Пример:
Вычислить 2 ( 1 − 3 ) sin 105 ∘ \sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\ \sin\ 105{^\circ} 2 ( 1 − 3 ) sin 105 ∘
Решение.
sin 105 ∘ = sin ( 60 ∘ + 45 ∘ ) = sin 60 ∘ ⋅ cos 45 ∘ + cos 60 ∘ ⋅ sin 45 ∘ = 3 2 ∙ 2 2 + 1 2 ∙ 2 2 = 2 4 ( 1 + 3 ) . \sin{105{^\circ}} = \sin{(60{^\circ} + 45{^\circ})} = \sin{60{^\circ}} \cdot \cos{45{^\circ}} + \cos{60{^\circ}} \cdot \sin{45{^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}).\ sin 105 ∘ = sin ( 60 ∘ + 45 ∘ ) = sin 60 ∘ ⋅ cos 45 ∘ + cos 60 ∘ ⋅ sin 45 ∘ = 2 3 ∙ 2 2 + 2 1 ∙ 2 2 = 4 2 ( 1 + 3 ) .
2 ( 1 − 3 ) sin 105 ∘ = 2 ( 1 − 3 ) 2 4 ( 1 + 3 ) = 1 2 ( 1 2 − 3 2 ) = 0 , 5 ∙ ( − 2 ) = − 1. \sqrt{2}\left( 1 - \sqrt{3} \right)\sin{105{^\circ}} = \sqrt{2}\ \left( 1 - \sqrt{3} \right)\frac{\sqrt{2}}{4}\left( 1 + \sqrt{3} \right) = \frac{1}{2}(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2}\ ) = 0,5 \bullet ( - 2) = - 1. 2 ( 1 − 3 ) sin 105 ∘ = 2 ( 1 − 3 ) 4 2 ( 1 + 3 ) = 2 1 ( 1 2 − 3 2 ) = 0 , 5 ∙ ( − 2 ) = − 1.
Пример:
Вычислить 2 ( 1 − 3 ) cos 13 π 12 {\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\cos}\frac{13\pi}{12} 2 ( 1 − 3 ) cos 12 13 π
Решение.
cos 13 π 12 = cos ( 3 π 4 + π 3 ) = cos 3 π 4 ∙ cos π 3 − sin 3 π 4 ∙ sin π 3 = − 2 2 ∙ 1 2 − 2 2 ∙ 3 2 = − 2 4 ( 1 + 3 \cos\frac{13\pi}{12} = \cos{(\frac{3\pi}{4} +}\ \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{3\pi}{4} \bullet \cos\frac{\pi}{3} - \ \sin\frac{3\pi}{4} \bullet \sin\frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \bullet \frac{1}{2}\ - \frac{\sqrt{2}}{2} \bullet \frac{\sqrt{3}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3} cos 12 13 π = cos ( 4 3 π + 3 π ) = cos 4 3 π ∙ cos 3 π − sin 4 3 π ∙ sin 3 π = − 2 2 ∙ 2 1 − 2 2 ∙ 2 3 = − 4 2 ( 1 + 3 ).
2 ( 1 − 3 ) cos 13 π 12 = 2 ( 1 − 3 ) ( − 2 4 ( 1 + 3 ) = − 1 2 ( 1 2 − 3 2 ) = − 0 , 5 ∙ ( − 2 ) = 1 {\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\cos}\frac{13\pi}{12} = \sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\ ( - \frac{\sqrt{2}}{4}\left( 1 + \sqrt{3} \right) = \ - \frac{1}{2}\left( 1^{2} - {\sqrt{3}}^{2} \right) = - 0,5 \bullet \left( - 2 \right) = 1 2 ( 1 − 3 ) cos 12 13 π = 2 ( 1 − 3 ) ( − 4 2 ( 1 + 3 ) = − 2 1 ( 1 2 − 3 2 ) = − 0 , 5 ∙ ( − 2 ) = 1 .
Тригонометрические формулы двойного угла:
Синус двойного угла sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α
Косинус двойного угла cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α \cos 2\alpha = 1–2\sin ²\alpha cos 2 α = 1–2 sin 2 α
Тангенс двойного угла t g 2 a = 2 t g a 1 − t g 2 a , a ≠ π 4 + πn 2 , n ∈ Z tg\ 2a = \frac{2tg\ a}{1 - tg^{2}a},\ a \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\text{πn}}{2},\ n \in Z t g 2 a = 1 − t g 2 a 2 t g a , a = 4 π + 2 πn , n ∈ Z
Пример:
Найдите 2 cos 2 α 2\cos 2\alpha 2 cos 2 α , если sin α = − 0 , 7 \sin\alpha\ = \ - \ 0,7 sin α = − 0 , 7
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α \cos 2\alpha\ = \ 1\ –\ 2\sin ²\alpha cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α .
Получаем: 2 cos 2 α = 2 ⋅ ( 1 – 2 sin 2 α ) = 2 ⋅ ( 1 − 2 ⋅ ( − 0 , 7 ) 2 ) = 2 ⋅ ( 1 − 2 ⋅ 0 , 49 ) = 0 , 04. 2\cos 2\alpha = 2 \cdot (1–2\sin ²\alpha) = 2 \cdot (1 - 2 \cdot \left( - 0,7 \right)\ 2) = 2 \cdot (1 - 2 \cdot 0,49) = 0,04. 2 cos 2 α = 2 ⋅ ( 1–2 sin 2 α ) = 2 ⋅ ( 1 − 2 ⋅ ( − 0 , 7 ) 2 ) = 2 ⋅ ( 1 − 2 ⋅ 0 , 49 ) = 0 , 04.
Пример :
Найдите значение выражения 12 sin 11 ∘ ∙ cos 11 ∘ sin 22 ∘ \frac{12\sin{11{^\circ}} \bullet \cos{11{^\circ}}}{\sin{22{^\circ}}} s i n 22 ∘ 12 s i n 11 ∘ ∙ c o s 11 ∘
Решение.
Применяем формулу sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha\ = \ 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α :
12 sin 11 ∘ ∙ cos 11 ∘ sin 22 ∘ = 6 sin 22 ∘ sin 22 ∘ = 6 \frac{12\sin{11{^\circ}} \bullet \cos{11{^\circ}}}{\sin{22{^\circ}}} = \ \frac{6\sin{22{^\circ}}}{\sin{22{^\circ}}} = 6 s i n 22 ∘ 12 s i n 11 ∘ ∙ c o s 11 ∘ = s i n 22 ∘ 6 s i n 22 ∘ = 6 .
Формулы понижения степени:
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла sin 2 a = 1 − cos 2 a 2 \sin^{2}a = \frac{1 - \cos{2a}}{2} sin 2 a = 2 1 − c o s 2 a
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла cos 2 a = 1 + cos 2 a 2 \cos^{2}a = \frac{1 + \cos{2a}}{2} cos 2 a = 2 1 + c o s 2 a
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла tg 2 a = 1 − cos 2 a 1 + cos 2 a , a ≠ π 2 + π n , n ∈ Z \text{tg}^{2}a = \frac{1 - \cos{2a}}{1 + \cos{2a}},a \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z tg 2 a = 1 + c o s 2 a 1 − c o s 2 a , a = 2 π + πn , n ∈ Z
Пример:
Найти значение выражения 3 sin 2 4 x 3\sin^{2}{4x} 3 sin 2 4 x cos 8 x = 0 , 5 \cos{8x} = 0,5 cos 8 x = 0 , 5
Решение.
Используем формулу понижения степени:
sin 2 a = 1 − cos 2 a 2 \sin^{2}a = \frac{1 - \cos{2a}}{2} sin 2 a = 2 1 − c o s 2 a
Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:
sin 2 4 x = 1 − cos 8 x 2 \sin^{2}{4x} = \frac{1 - \cos{8x}}{2} sin 2 4 x = 2 1 − c o s 8 x
Находим значение выражения:
3 s i n 2 4 x = 3 ⋅ 1 − cos 8 x 2 = 3 ⋅ 1 − 0 , 5 2 = 3 ⋅ 0 , 5 2 = 3 4 = 0 , 75 {3\ sin}^{2}{4x} = 3 \cdot \frac{1 - \cos{8x}}{2} = 3 \cdot \frac{1 - 0,5}{2} = \frac{3 \cdot 0,5}{2} = \frac{3}{4} = 0,75 3 s in 2 4 x = 3 ⋅ 2 1 − c o s 8 x = 3 ⋅ 2 1 − 0 , 5 = 2 3 ⋅ 0 , 5 = 4 3 = 0 , 75
Тригонометрические формулы произведения:
Произведение синусов sin α ∙ sin β = 1 2 ( cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ) \sin\alpha \bullet \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos\left( \alpha - \beta \right) - \cos{(\alpha + \beta)}) sin α ∙ sin β = 2 1 ( cos ( α − β ) − cos ( α + β ) )
Произведение косинусов cos α ∙ cos β = 1 2 ( cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ) \cos\alpha \bullet \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos{(\alpha - \beta)} + \cos{(\alpha + \beta)}) cos α ∙ cos β = 2 1 ( cos ( α − β ) + cos ( α + β ) )
Произведение синуса и косинуса sin α ∙ cos β = 1 2 ( sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ) \sin\alpha \bullet \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin\left( \alpha + \beta \right) + \sin{(\alpha - \beta)}) sin α ∙ cos β = 2 1 ( sin ( α + β ) + sin ( α − β ) )
Пример:
Вычислить sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ \sin{20{^\circ}} \cdot \sin{40{^\circ}\ } sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ , считать, что cos 20 ∘ = 0 , 9 \cos{20{^\circ}}\ = \ 0,9 cos 20 ∘ = 0 , 9
Решение.
Заметим, что
sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ = 1 2 ( cos ( 20 ∘ − 40 ∘ ) − cos ( 20 ∘ + 40 ∘ ) ) = 1 2 ( cos 20 ∘ − cos 60 ∘ ) = 0 , 5 ⋅ ( 0 , 9 – 0 , 5 ) = 0 , 2 \sin\ 20{^\circ} \cdot \sin\ 40{^\circ} = \frac{1}{2}(\cos\left( 20{^\circ} - \ 40{^\circ} \right) - \cos{(20{^\circ}\ + \ 40{^\circ})})\ = \ \frac{1}{2}(\cos 20{^\circ}\ - \ \cos 60{^\circ})\ = \ 0,5 \cdot (0,9\ –\ 0,5)\ = \ 0,2 sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ = 2 1 ( cos ( 20 ∘ − 40 ∘ ) − cos ( 20 ∘ + 40 ∘ ) ) = 2 1 ( cos 20 ∘ − cos 60 ∘ ) = 0 , 5 ⋅ ( 0 , 9 – 0 , 5 ) = 0 , 2 .
Формулы суммы и разности тригонометрических функций:
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 ⋅ cos α − β 2 \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha - \beta}{2} sin α + sin β = 2 sin 2 α + β ⋅ cos 2 α − β
sin α − sin β = 2 sin α − β 2 ⋅ cos α + β 2 \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha + \beta}{2} sin α − sin β = 2 sin 2 α − β ⋅ cos 2 α + β
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 ⋅ cos α − β 2 \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha - \beta}{2} cos α + cos β = 2 cos 2 α + β ⋅ cos 2 α − β
cos α − cos β = − 2 cos α + β 2 ⋅ cos α − β 2 \cos\alpha - \cos\beta = - 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha - \beta}{2} cos α − cos β = − 2 cos 2 α + β ⋅ cos 2 α − β
Формулы приведения
Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью, существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.
Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.
1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: π 2 , π , 3 π 2 , 2 π \frac{\pi}{2},\ \pi,\frac{3\pi}{2},\ 2\pi\ 2 π , π , 2 3 π , 2 π α α .
2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».
Мнемоническое правило:
Достаточно задать себе два вопроса:
1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 3 π 2 \frac{3\pi}{2} 2 3 π π 2π , то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».
2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части . Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.
Пример:
sin ( 3 π 2 + α ) . \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha). sin ( 2 3 π + α ) .
«Меняется функция или нет?»
3 π 2 \frac{3\pi}{2} 2 3 π «Да, меняется». Значит, в правой части будет cosα \text{cosα} cosα .
«Знак?»
Угол ( 3 π 2 + α ) (\frac{3\pi}{2} + \alpha) ( 2 3 π + α ) IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус» . Значит, в правой части ставим знак «минус» .
Итак, получили формулу, sin ( 3 π / 2 + α ) = – c o s α \sin(3\pi/2 + \alpha)\ = \ –cos\alpha sin ( 3 π /2 + α ) = – cos α
Пример:
Найдите значение выражения 14 sin 409 ∘ sin 49 ∘ \frac{14\sin{409{^\circ}}}{\sin{49{^\circ}}} s i n 49 ∘ 14 s i n 409 ∘
Решение. Используем формулу приведения:
14 sin 409 ∘ sin 49 ∘ = 14 sin ( 360 ∘ + 40 ∘ ) sin 49 ∘ \frac{14\sin{409{^\circ}}}{\sin{49{^\circ}}} = \frac{14\sin{(360{^\circ} + 40{^\circ})}}{\sin{49{^\circ}}} s i n 49 ∘ 14 s i n 409 ∘ = s i n 49 ∘ 14 s i n ( 360 ∘ + 40 ∘ ) 14 sin 49 ∘ sin 49 ∘ = 14 1 = 14 \frac{14\sin{49{^\circ}}}{\sin{49{^\circ}}} = \frac{14}{1} = 14 s i n 49 ∘ 14 s i n 49 ∘ = 1 14 = 14
Пример:
Найдите значение выражения 5 t g 17 º ⋅ t g 107 º 5tg17º\ \cdot \ tg107º 5 t g 17º ⋅ t g 107º
Решение. Используем формулу приведения:
5 t g 17 ∘ ⋅ t g 107 ∘ = 5 t g 17 ∘ ⋅ t g ( 90 ∘ + 17 ∘ ) = 5 t g 17 ∘ ⋅ ( − c t g 17 ∘ ) = − 5 ( t g 17 ∘ ⋅ c t g 17 ∘ ) = − 5 ⋅ 1 = − 5 5tg\ 17{^\circ} \cdot tg\ 107{^\circ} = 5tg\ 17{^\circ} \cdot tg\left( 90{^\circ} + 17{^\circ} \right) = 5tg\ 17{^\circ} \cdot ( - ctg\ 17{^\circ}) = - 5(tg\ 17{^\circ} \cdot ctg\ 17{^\circ}) = - 5 \cdot 1 = - 5 5 t g 17 ∘ ⋅ t g 107 ∘ = 5 t g 17 ∘ ⋅ t g ( 90 ∘ + 17 ∘ ) = 5 t g 17 ∘ ⋅ ( − c t g 17 ∘ ) = − 5 ( t g 17 ∘ ⋅ c t g 17 ∘ ) = − 5 ⋅ 1 = − 5
