Метод координат в пространстве

Метод координат в пространстве

Метод координат применяется для решения стереометрических задач. Если удобно поставить геометрическое тело в систему координат в пространстве, то можно представить грани, ребра, элементы этого тела через векторы. Тогда можно решить задачу в обход стандартному подходу. Также этот метод можно применять для доказательства теорем или нахождения признаков.

Каждый вектор в пространстве имеет три координаты, разложенные по осям $Ox,\ Oy$ и $\text{Oz}$:

$\overrightarrow{a}\left\{ xi;yj;zk \right\}$

ТЕЛА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ:

Взаимная перпендикулярность осей системы координат позволяет нам просто расположить в ней прямоугольные геометрические тела. Для того, чтобы сделать это верно, не нужно доказывать перпендикулярность осей – это аксиома.

Например, поставим в прямоугольную систему координат куб со стороной $a = 2$. Мы знаем, что ты ребра куба, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны (как и оси системы координат), тогда пусть одна из вершин куба находится в точке $O(0;0)$ так, чтобы каждая точка куба имела положительные координаты:

Таким образом, стороны $DA,\ DC$ и $DD_{1}$ лежат на осях $Ox,\ Oy$ и $\text{Oz}$ соответственно, при этом каждая из этих сторон равна$\ 2$. Если точка $D$ имеет координаты $\left( 0;0 \right)$, а все остальные вершины куба имеют положительные координаты, тогда координаты точек $A,\ C$ и $D_{1}$ следующие:

$A\left( 2;0;0 \right)$

$C\left( 0;2;0 \right)$

$D_{1}(0;0;2)$

Мы знаем координаты четырёх точек куба. Нужно найти еще четыре. При этом оставшиеся точки $A_{1},\ C_{1},B$ и $B_{1}$.

Рассмотрим сторону куба $AA_{1}D_{1}D$. Она находится в плоскости $\text{Oxz}$.

Из вершин этой стороны мы не знаем только координаты точки $A_{1}$:

Мы видим, что точка $A_{1}$ имеет такую же координату $x$, как у точки $A$ и такую же координату $z$, как у точки $D_{1}$. Координата $y = 0$ у каждой точки, лежащей в этой плоскости:

Аналогично будем представлять плоскости, которые содержат другие точки с неизвестными координатами. Рассмотрим плоскость $\text{Oxy}$. Точка $B$ будет иметь координату $x$, как у точки $A$ и координату $y$ как у точки $C$, координата $z = 0$:

И рассмотрим плоскость $\text{Oy}z$. Точка $C_{1}$ будет иметь координату $y$ как у точки $C$ и координату $z$ как у точки $D_{1}$. Координата $x = 0$:

Точка $B_{1}$ ни в одной плоскости, включающей в себя пересекающиеся оси. Но аналогично мы можем увидеть, что координаты $x,\ y$ и $z$ соответственно равны координатам точек $A,\ C$ и $C_{1}$:

Таким образом мы знаем координаты каждой вершины геометрического тела. Зная это, мы можем найти методом координат:

• Расстояние между вершинами;

• Координаты середины отрезка;

• Расстояние между вершиной и серединой отрезка (медиану);

• Расстояние между точкой и прямой (высоту);

• Расстояние между прямыми;

• Расстояние между плоскостью и прямой;

• Угол между прямыми;

• Площадь поверхности.

В общем можно заменить большинство формул, теорем и методов решения стереометрических задач методом координат в пространстве при условии верной постановки геометрического тела в систему координат.

В высшей математике часто именно методом координат решаются сложные задачи по нахождению расстояний, углов, площадей и прочих характеристик.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ И КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА:

1. Расстояние между точками:

Расстояние между двумя точками с координатами $A\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right),\ B\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right)$ будет находиться как:

Например:

$A\left( 4, - 2;5 \right)$

$B\left( - 1;0;4 \right)$

$\overrightarrow{\left| \text{AB} \right|} = \sqrt{\left( - 1 - 4 \right)^{2} + \left( 0 + 2 \right)^{2} + \left( 4 - 5 \right)^{2}} = \sqrt{{( - 5)}^{2} + 2^{2} + {( - 1)}^{2}} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}$

2. Координаты середины отрезка:

Координаты точки $M$, которая является серединой отрезка с концами в точках $A\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right)$, $B\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right),\$будет находиться как:

Например:

$A\left( 2;0; - 1 \right)$

$B\left( - 1;3;2 \right)$

$M(\frac{1}{2}\left( 2 - 1 \right);\frac{1}{2}\left( 0 + 3 \right);\frac{1}{2}( - 1 + 2)) \Longrightarrow M(0,5;1,5;0,5)$

В прямоугольном параллелепипеде $\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ $AB = 2$, $AD = 1$, $AA_{1} = 3$. Найдите $DM,$ где $M$ – середина между отрезка $AC_{1}$.

1. Сначала впишем параллелепипед в координатное пространство. Расположим точку $A$ в начало координат. Тогда обозначим координаты точек следующим образом:

2. Вопрос задачи состоит в поиске расстояния между двумя точками – $D$ и $M$. Для этого нужно знать координаты этих точек. Координаты точки $\text{D\ }$мы уже знаем по условию. Тогда найдем координаты точки $M$. Эта точка является серединой отрезка $AC_{1}$, координаты которого нам тоже известны. Тогда найдем координаты точки $M$ по формуле:

$M(\frac{1}{2}\left( 0 + 1 \right);\frac{1}{2}\left( 0 + 2 \right);\frac{1}{2}(0 + 3)) \Longrightarrow M(0,5;1;1,5)$

3. Теперь найдем расстояние $AC_{1}$:

$\left| \overrightarrow{\text{DM}} \right| = \sqrt{\left( 1 - 1,5 \right)^{2} + \left( 0 - 1 \right)^{2} + \left( 0 - 1,5 \right)^{2}} = \sqrt{{( - 0,5)}^{2} + {( - 1)}^{2} + {( - 1,5)}^{2}} = \sqrt{0,25 + 1 + 2,25} = \sqrt{3,5}$

Число получилось иррациональным. Решение подобных задач напрямую, «стандартным» способом, может вызвать много трудностей, однако при решении методом координат мы работаем с простыми числами, зная всего две формулы.

Ответ: $\sqrt{3,5}$.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

1. Угол между векторами можно определить, если оба вектора выходят из одной точки. Тогда, если представить векторы как отрезки, то угол будет иметь своё стандартное определение – будет состоять из вершины и двух сторон:

$\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = \alpha$

Угол между сонаправленными векторами равен 0⁰

$\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}$

$\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = 0{^\circ}$

Угол между противоположно направленными векторами равен 180⁰.

$\overrightarrow{c} \uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$

$\widehat{\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}} = 180{^\circ}$

2. Скалярное произведение векторов можно найти двумя способами:

• Это произведение длин векторов на косинус угла между ними.

$\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}$

Если угол между векторами равен 90⁰, то векторы перпендикулярны, а их скалярное произведение равно 0:

$\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos 90{^\circ} =$

$\left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet 0 = 0$

Таким образом если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

• Это сумма произведений соответствующих координат:

$\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1};z_{1} \right\}$

$\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2};z_{2} \right\}$

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}$

3. Косинус угла между векторами.

Зная две формулы скалярного произведения векторов, выразим косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}$

$\cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|}$

Представим скалярное произведение и модули векторов через координаты, получим:

Таким образом, зная координаты двух векторов, можно найти косинус угла между ними, а значит, выразить и сам угол.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ:

Уравнение прямой можно задать двумя способами.

Чтобы понять, что такое уравнение прямой, нужно для начала рассмотреть понятие направляющего вектора прямой.

$\overrightarrow{a}\mathbf{- направляющий\ вектор\ прямой\ }a$

То есть мы можем заменить любую прямую на её направляющий вектор и рассматривать эту прямую уже через метод координат.

Найдите угол между прямыми $a$ и $b$, если их направляющие векторы соответственно равны

$\overrightarrow{m}\left\{ 2;4;0 \right\}$

$\overrightarrow{n}\left\{ 3;1; - 2 \right\}$

1. Если нам известны направляющие векторы, то угол между ними будет равен углу между прямыми. Зная координаты направляющих векторов, найдем косинус угла между ними:

$\cos\widehat{\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}} = \frac{2 \bullet 3 + 4 \bullet 1 + 0 \bullet ( - 2)}{\sqrt{4 + 16 + 0} \bullet \sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{6 + 4}{\sqrt{20} \bullet \sqrt{14}} = \frac{10}{\sqrt{280}} = \frac{10}{2\sqrt{70}} = \frac{5\sqrt{70}}{70} = \frac{\sqrt{70}}{14}$

2. Данный косинус принимает не табличные значения, значит выразим угол через арккосинус:

$\widehat{\text{ab}} = \widehat{\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}} = \arccos\frac{\sqrt{70}}{14}$

Так мы нашли угол между прямыми, сделав через их направляющие переход к методу координат.

Ответ: $\arccos\frac{\sqrt{70}}{14}$.

1. КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ:

Такой вид уравнения прямой позволяет по трем координатам понять принадлежность точки к этой прямой. Само уравнение имеет такой вид:

где $x,\ y,\ z$ – это переменные,

$x_{0},\ y_{0},\ z_{0}$ – координаты любой точки, принадлежащей данной прямой,

$\ x_{p},y_{p},z_{p}$ - координаты направляющего вектора $\overrightarrow{p}$ это прямой.

Это уравнение описывает любую прямую в пространстве по её направляющей и любой точке, через которую она проходит.

Составьте уравнение прямой, если известно, что ей принадлежит точка $K(2; - 3;0)$, а направляющим вектором этой прямой является вектор $\overrightarrow{p}\left\{ 5;4;1 \right\}$

1. Подставим в формулу уравнения прямой все известные данные, получим:

$\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z}{1}$

Если в одном из знаменателей уравнения прямой стоит единица, то такую дробь НЕ нужно сокращать. Оставляем её в таком же виде.

Проверка

Чтобы проверить, проходит ли какая-либо точка через данную прямую, нужно вместо переменных $x,\ y,\ z$ подставить координаты этой точки. Тождество должно соблюдаться:

$\frac{2 - 2}{5} = \frac{- 3 + 3}{4} = \frac{0}{1}$

$0 = 0 = 0$

Значит, мы верно составили уравнение прямой.

Ответ: $\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z}{1}$

Определите, проходят ли точки $A(4; - 2; - 5)$ и $B(7;6; - 9)$ через прямую $l$, заданную уравнением

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 5}{- 2}$

1. Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой, получим:

$\frac{4 - 1}{3} = \frac{- 2 - 4}{1} = \frac{- 5 + 5}{- 2}$

$1 \neq - 6 \neq 0$

Таким образом $A \notin l$.

2. Аналогично подставим координаты точки $B$:

$\frac{7 - 1}{3} = \frac{6 - 4}{1} = \frac{- 9 + 5}{- 2}$

$2 = 2 = 2$

Значит $B \in l$.

Ответ: $A \notin l$; $B \in l$.

2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ:

Общим уравнением прямой называют уравнение вида:

$Ax + By + C = 0$

где,$\text{\ A}$, $B$ и $C$ – некоторые числа,

$\text{\ A}$, $B$ одновременно не равны нулю.

Чтобы проверить, лежит ли точка на прямой, заданной уравнением, нужно подставить координаты точки вместо $\text{x\ }$и $y$. Если уравнение верно, то точка принадлежит прямой.

2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ:

Также зная уравнение прямой вида $\text{Ax} + \text{By} + C = 0$, и координаты точки $M(x_{0};y_{0})$, можно вычислить расстояние между этой точкой и прямой:

$d = \frac{\left| Ax_{0} + By_{0} + C \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Найдите расстояние между прямой, заданной уравнением $3x + 4y - 6 = 0$ ,и точкой $K( - 1;3)$.

1. Подставим коэффициенты и координаты в формулу нахождения расстояния между точкой и прямой:

$d = \frac{\left| 3\left( - 1 \right) + 4 \bullet 3 - 6 \right|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{\left| - 3 + 12 - 6 \right|}{\sqrt{25}} = \frac{\left| 3 \right|}{5} = 0,6$

Ответ: 0,6.

НОРМАЛЬ И УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ:

Уравнение плоскости задаётся с помощью нормали. Если представить плоскость как совокупность точек, тогда некое уравнение плоскости опишет закономерность расположения этих точек в пространстве.

Чтобы это сделать, использует понятие нормали.

Если мы знаем координаты нормали $\overrightarrow{n}\left\{ A;B;C \right\}$ к данной плоскости, тогда её скалярное произведение с направляющим вектором $\overrightarrow{a}$ прямой $a$, лежащей в данной плоскости, равно нулю (по определению скалярного произведения):

$\overrightarrow{n}\left\{ a;b;c \right\}$

$\overrightarrow{m}\left\{ x;y;z \right\}$

$\overrightarrow{m}\overrightarrow{n} = ax + by + cz = 0$

Так как все точки этой прямой лежат в данной плоскости, тогда если какая-либо точка принадлежит этой прямой, то она принадлежит и плоскости. Значит, уравнение

$ax + by + cz = 0$

описывает совокупность всех точек, координаты которых являются корнями данного уравнения. Таким образом описывается плоскость, состоящая из этих точек.

Но это еще не все уравнение. Для того чтобы точно описать плоскость, в уравнение необходимо добавить свободный член, чтобы избежать такой ситуации, когда корнями уравнения всегда являются координаты начала координат, а значит начало координат принадлежит всем возможным плоскостям, что неверно. Получаем полное уравнение плоскости: