Комбинации с окружностью

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: $r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}$

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

$r = \frac{a + b\ –\ c}{2}$

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.
2. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.
3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

$R = \frac{\text{abc}}{4S}$

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

2. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

3. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

$r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}$

2. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

$r = \frac{h}{2}$

3. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

$r = \frac{h}{2}$

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

2. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

$R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}$

3. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2}$

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

$h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

$R = a$