Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Если $q > 0$, то прогрессия считается знакоположительной, при $q < 0$ – знакопеременной.

Если $|q| > 1$, прогрессия возрастающая, если $|q| < 1$ – убывающая. Заметим, что при $q < 0$ сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если $b_{1}$ — первый член прогрессии ($b_{1}\ \neq \ 0$), а q — знаменатель прогрессии ($q\ \neq \ 0$), то справедливы следующие формулы:

$b_{n}\ = \ b_{1} \cdot q^{n - 1}$ - формула n-го члена

Решение:

По формуле найдем:

$b_{4} = \ b_{1} \cdot q^{4\ - 1} = 3 \cdot 2^{3}\ = \ 24$,

$b_{11} = \ b_{1} \cdot q^{11 - 1} = 3 \cdot 2^{10}\ = \ 3072$.

$< О > S_{n} = b_{1}\ \frac{(q^{n} - 1)}{q - 1}$ - формула суммы n первых членов;

Решение:

$S_{5} = b_{1}\ \frac{(q^{5} - 1)}{q - 1} = 2\ \frac{(3^{5} - 1)}{3 - 1} = \ 2\ \frac{(243 - 1)}{2} = 242$

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

• $b_{n} = \ \sqrt{b_{n - 1} \bullet b_{n + 1}}$ - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле $S = \ \frac{b_{1}}{1 - q}$ .

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.