Взаимное расположение графиков линейной функции

Взаимное расположение графиков линейной функции

График линейной функции представляет собой прямую. Если на одной координатной прямой существуют две прямые, то они, как и любые прямые на плоскости, могут пересекаться, быть параллельными друг другу или совпадать.

Рассмотрим две линейные функции:

\(y = k_{1}x + b_{1\ }\) и \(y = k_{2}x + b_{2}\)

И их возможные расположения на одной координатной плоскости.

СОВПАДЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций совпадают при:

\(k_{1} = k_{2}\)

\(b_{1} = b_{2}\)

Например:

Графики функций \(y = 3x–2\) и \(y = 3x–2\) совпадают, так как

\(k_{1} = k_{2} = 3\ \) и \(\ b_{1} = b_{2} = \ –2\)

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций параллельны при:

\(k_{1} = k_{2}\)

\(b_{1} \neq b_{2}\)

Например:

Графики функций \(y = –2x\) и \(y = –2x + 5\) параллельны, так как

\(k_{1} = k_{2} = \ –2\)

\(b_{1} = 0;\ b_{2} = 5 \Longrightarrow b_{1} \neq b_{2}\ \)

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций пересекаются при:

\(k_{1} \neq k_{2}\ \) и \(\ b_{1} \neq b_{2}\)

Например:

Графики функций \(y = 2x–5\) и\(\ y = \frac{1}{4}x + 2\) пересекаются, так как

\(k_{1} = 2,\ k_{2} = \frac{1}{4} \Longrightarrow k_{1} \neq k_{2}\)

\(и\)

\(b_{1} = \ –5,\ b_{2} = 2 \Longrightarrow b_{1} \neq b_{2}\)

При этом по определению пересекающихся прямых, они должны иметь одну общую точку. Эта будет такая точка с координатами \((x;\ y)\), которая будет принадлежать как первому, так и второму графику функций.

То есть для функций:

\(y_{1} = k_{1}x_{1} + b_{1}\)

\(y_{2} = k_{2}x_{2} + b_{2}\)

Будут соблюдаться условия:

\(k_{1} \neq k_{2}\ \) и \(\ b_{1} \neq b_{2}\)

Поэтому будет существовать точка пересечения этих графиков с координатами:

\(x = x_{1} = x_{2}\)

\(y = y_{1} = y_{2}\)

В таком случае, чтобы найти точку пересечения графиков функций без построения для функций \(\mathbf{y}_{\mathbf{1}} = k_{1}x = b_{1}\) нужно:

1. Приравнять \(y_{1}\ и\ y_{2},\) а значит приравнять\(\ k_{1}x_{1} + b_{1}\ и\ k_{2}x_{2} + b_{2}.\)

2. Так как \(x_{1} = x_{2} = x\), решим уравнение

\(k_{1}x + b_{1} = k_{2}x + b_{2}.\)

3. Подставить найденный аргумент в любую из функций и найти её значение y. Найденная пара (x; y) будет являться координатой общей точки для данных графиков функций.

Рассмотрим данный алгоритм на примере функций, заданных на графике выше.

Найти без построений точку пересечения для графиков

\(y = 2x\ –\ 5\ \) и \(\ y = \frac{1}{4}x + 2\)

1. Игреки данных функций равны, следовательно:

\(2x\ –\ 5 = \frac{1}{4}x + 2\)

2. Иксы в данном уравнении равны, значит можем решить уравнение:

\(\frac{7}{4}x = 7\)

\(x = 4\)

3. Подставим x = 4 в первое уравнение, получим:

\(y = 2x\ –\ 5\)

\(y\ = \ 2 \bullet 4\ –\ 5\)

\(y = 3\)

Следовательно, точкой пересечения данных графиков является точка с координатами \((4;3)\), что и подтверждает наш график выше.

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Графики линейных функций пересекаются под прямым углом, если

\(k_{1} \bullet k_{2} = \ –1\)

\(k_{1} = \ –\frac{1}{k_{2}}\)

Например:

Графики функций \(y = 3x–2\) и \(y = \ –\frac{1}{3}x + 1\) перпендикулярны друг дугу, так как

\(k_{1} \bullet k_{2} = 3 \bullet (–\frac{1}{3}) = \ –1\)