Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

В общем виде оно выглядит следующим образом:

$ax^{2} + bx + c = 0,$ где $a \neq 0,\ b,\ c$ – некоторые числа.

ДИСКРИМИНАНТ:

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта $D = b^{2} - 4ac$ по формулам:

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}\ }{2a} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}\ }{2a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\$

- Если дискриминант больше нуля – уравнение имеет два корня.

- Если дискриминант равен нулю – уравнение имеет один корень.

- Если дискриминант меньше нуля – корней нет.

$x^{2} = 6x\ –\ 5$

• Способ 1:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$x^{2}\ –\ 6x\ + 5 = 0$

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

$D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 = 4^{2}$

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{6 + 4\ }{2} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{6 - 4\ }{2}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\$ $\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ {\text{\ \ \ }x}_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\$

Ответ: 5; 1.

СОКРАЩЁННЫЙ ДИСКРИМИНАНТ:

Существует второй способ решения квадратного уравнения. В случае, если коэффициент $b$ – четное число, запишем его как $2k$. Квадратное уравнение примет следующий вид:

$ax^{2} + 2kx + c = 0$,$\ a \neq 0,\ k,\ c$ – некоторые числа.

Тогда вместо дискриминанта D будем использовать сокращённый дискриминант $\frac{D}{4}$, а формула его нахождения будет следующей:

$\frac{D}{4} = k^{2}\ –\ ac$

Корни уравнения определим так же через сокращённый дискриминант:

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{- k + \sqrt{\frac{D}{4}}\ }{a} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{- k - \sqrt{\frac{D}{4}}\ }{a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\$

• Способ 2:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$x^{2}\ –\ 6x\ + 5 = 0$

2. Выделим коэффициент k:

$x^{2}\ –\ 2 \bullet 3x\ + 5 = 0$

$k = 3$

3. Определим сокращённый дискриминант полученного уравнения:

$\frac{D}{4} = 3^{2} - 1 \cdot 5 = 4 = 2^{2}$

4. С помощью сокращённого дискриминанта найдем корни по формулам:

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{3 + 2\ }{1} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{3 - 2\ }{1}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\$ $\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ {\text{\ \ \ }x}_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\$

Ответ: 5; 1.

Как мы видим, ответ остался прежним, но числа, используемые при вычислениях, стали меньше. Это значит, что при работе с большими коэффициентами решение через сокращённый дискриминант уменьшает вероятность вычислительной ошибки.

ТЕОРЕМА ВИЕТА:

В некоторых случаях (например, $a = 1$) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

$\left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}\ \\ \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ x}_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\$

Важно, что теорему Виета можно использовать при любом ненулевом коэффициенте а, формула представлена в общем виде. Однако если $a = 1,$ то чаще всего нужно работать с целыми числами, а не с дробными, что упрощает подбор.

Следствия из теоремы Виета:

Используя теорему Виета, можно увидеть взаимосвязь между коэффициентами b и c и знаками корней уравнения.

Коэффициент c показывает, будут ли одинаковыми знаки корней:

1. Если$\ c > 0$, то корни$\ x_{1}$ и $x_{2}\$ имеют одинаковый знак.

2. Если коэффициент $c < 0$, корни $x_{1}$ и $x_{2}$ будут разных знаков.

Коэффициент b показывает, какой именно знак у корней, если он один, либо какой корень положительный, а какой отрицательный, если знаки разные.

3. Если $x_{1} + x_{2} = - b > 0$ (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта:

а) либо оба корня положительны;

б) либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

4. Если$\ x_{1} + x_{2} = - \ b < 0$ (т.е. сумма корней отрицательна), то опять же есть 2 варианта:

а) либо все корни отрицательны;

б) либо модуль положительного корня меньше модуля отрицательного.

$x^{2} - 5x + 6 = 0$

1. Составим систему:

$\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} \cdot x_{2} = 6 \\ \ \\ \text{\ \ \ }x_{1} + x_{2} = 5\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\$

Из следствий из т. Виета видим, что $c > 0$, значит у корней одинаковые знаки.

Коэффициент $b > 0$, значит оба корня положительные

2. Подберем $x_{1},\ \ x_{2}$ так, чтобы оба равенства выполнялись.

Видим, что произведение больше нуля, значит, либо оба числа отрицательные, либо оба положительные. Сумма положительна, значит, оба положительные.

Произведение корней раскладываем всеми способами на множители:

$6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 6$

Через сумму делаем проверку:

$2 + 3 = 5$

$1 + 6 = 7$

В данном случае подходят числа

$x_{1} = 2,\ \ x_{2} = 3$.

Ответ: 2; 3.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ:

• Если $a + b + c = 0$, то $x_{1} = 1,\ \ x_{2} = \frac{c}{a}$

$x^{2}\ + 3x\ –\ 4 = 0$

1. Сложим все коэффициенты уравнения, чтобы проверить, является ли это уравнение примером частного случая. Действительно, коэффициенты в сумме дают 0:

$1 + 3\ –\ 4 = 0$

2. Тогда по правилу: $x_{1} = 1,\ \ x_{2} = \frac{c}{a}$ получаем:

$\left\lbrack \frac{x_{1} = 1}{x_{2} = \frac{–4}{1}\ = \ –4} \right.\$

Ответ: 1; -4.

• Если $a + c = b$, то $x_{1} = \ –1,\ \ x_{2} = \ –\ \frac{c}{a}$

$x^{2}\ + 9x\ + 8 = 0$

1. Сложим коэффициенты a и c, чтобы проверить уравнение на соответствие второму частному случаю. Действительно $a + c = b$:

$1 + 8 = 9$

2. Тогда по правилу: $x_{1} = \ –1,\ \ x_{2} = \ –\ \frac{c}{a}$ получаем:

$\left\lbrack \frac{x_{1} = \ –1}{x_{2} = \ –\ \frac{8}{1}\ = \ –8} \right.\$

Ответ: – 1; – 8.

НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Неполное квадратное уравнение вида

$ax^{2} + bx = 0.$

Если отсутствует свободный член, то:

1.Раскладываем левую часть на множители:

$x(ax + b) = 0$

2. Приравниваем каждый из множителей к нулю:

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \begin{matrix} \ \\ x = 0 \\ ax + b = 0 \\ \ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\$

3. Решаем каждое из полученных уравнений, получаем:

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ x = 0 \\ x = - \frac{b}{a} \\ \end{matrix} \right.\$

Неполное квадратное уравнение вида

$ax^{2} + c = 0.$

Если отсутствует слагаемое с переменной в первой степени, то:

1.Делим левую и правую часть на коэффициент $a \neq 0.$

$x^{2} + \frac{c}{a} = 0$

2. Смотрим на знак слагаемого без переменной.

Если $\frac{c}{a} < 0$, то раскладываем по формуле разности квадратов, приравниваем каждую из скобок к нулю и решаем полученные уравнения.

Если $\frac{c}{a} = 0$, то получаем единственное решение $x = 0.$

Если $\frac{c}{a} > 0$, то решений нет.