Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов и теорема косинусов

ТЕОРЕМА СИНУСОВ:

Отношение сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это же отношение равно диаметру описанной окружности.

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Сторона АВ треугольника АВС равна 6, сторона ВС равна 4. $\sin{\angle АСВ} = \frac{3}{5}$ АСВ. Найдите $\sin{\angle ВАС}$.

1. Воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{АВ}{\sin{\angle АСВ}} = \frac{ВС}{\sin{\angle ВАС}}$

2. Внесем в неё все известные величины:

$\frac{6}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{\sin{\angle ВАС}}$

3. Через свойство пропорции выразим искомую величину:

$\sin{\angle ВАС} = \frac{\frac{3}{5} \bullet 4}{6} = \frac{3 \bullet 4}{5 \bullet 6} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \bullet \cos\alpha$

В треугольнике АВС сторона $АС = 11,\ ВС = 13$ и $\angle АСВ = 60{^\circ}$. Найти ${АВ}^{2}$.

1. Зная две стороны треугольника и угол между ними можно найти третью сторону по теореме косинусов:

${АВ}^{2} = {АС}^{2} + {ВС}^{2} - 2 \bullet АС \bullet ВС \bullet \cos{\angle АСВ}$

2. Введем в формулу все известные величины:

${АВ}^{2} = 121 + 169 - 2 \bullet 11 \bullet 13 \bullet \cos{60{^\circ}}$

${АВ}^{2} = 290 - 286 \bullet \frac{1}{2} = 290 - 143 = 147$

Ответ: 147.