Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

При этом задаются ограничения: $a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$. Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Вычислите: $\log_{3}27$, $\log_{\frac{1}{3}}27$.

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27:

$\log_{3}27 = 3$

2. При возведении $\frac{1}{3}$ в –3 степень получим 27, значит:

$\log_{\frac{1}{3}}27 = \ –3$

Ответ: 3; -3.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА:

1. Логарифм 1 по любому основанию равен 0.

$\log_{a}1 = 0$

2. Логарифм числа по равному себе основанию равен 1.

$\log_{a}a = 1$

3. Основное логарифмическое тождество. При возведении основания в степень логарифма получается логарифмическое выражение. $Место\ для\ уравнения.$

$a^{\log_{a}b} = b$

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

$\log_{a}\text{bc} = \log_{a}b + \log_{a}c$

5. Логарифм частного равен разности логарифмов.

$\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b\ –\ \log_{a}c$

6. Показатель степени можно выносить из логарифмического выражения за знак логарифма.

$\log_{a}b^{m} = m\log_{a}b$

7. Показатель степени можно выносить из основания логарифма за знак логарифма, возводя его в –1 степень.

$\log_{a^{n}}b = \frac{1}{n}\log_{a}b$

8. Можно представить логарифм в виде частного логарифма с новым основанием.

$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

9. Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, то получится логарифм, обратный исходному.

$\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}$

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЕ ЛОГАРИФМА

1. Логарифм по основанию 10 записывается

как $\lg$: $\log_{10}a = lga$

2. Логарифм по основанию e ($e \approx 2,72$) записывается

как $\ln$: $\log_{e}a = lna$

Используем рассмотренные свойства для решения задачи.

Вычислите $\log_{5}3125$.

1. Представим 3125 как 5 в некоторой степени:

$3125 = 5^{5}$

2. Вынесем степень из-под знака логарифма (по свойству из п. 6):

$\log_{5}3125 = \log_{5}5^{5} = {5\text{\ log}_{5}}5$

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1 (по п. 1):

$5\ \log_{5}5 = 5$

Ответ: 5.

Вычислите $5^{2 + \log_{5}3}$.

1. Воспользуемся свойством степеней:

$5^{2 + \log_{5}3} = 5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }}$

2. Используем основное логарифмическое тождество (п.3):

$5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }} = 25 \cdot 3 = 75$

Ответ: 75.

Вычислите $\lg 125 + \lg 8$.

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов (п. 4):

$\lg 125 + \lg 8 = \lg 1000$

2. Представим $1000 = 10^{3}$ и вынесем 3 за знак логарифма:

$\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\ \lg 10$

3. Воспользуемся тем, что $\lg 10 = 1$.

Ответ: 3.

Вычислите $\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3}$.

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов (п. 4):

$\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{2\lg 2 + \lg 3}$

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма (п.6):

$2\lg 2 = \lg 2^{2} = \lg 4$

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя (п. 4):

$\frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 12}$

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12 (п.8):

$\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12}144$

5. Представим $144 = 12^{2}$, вынесем степень за знак логарифма (п. 6) и воспользуемся соотношением $\log_{12}12 = 1$ (п. 2):

$\log_{12}144 = \log_{12}12^{2} = 2\log_{12}12 = 2$

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами могут встречаться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Вычислите $\log_{125}\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}}$.

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

$\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}} = a^{2 + 1 - 3} = a^{0} = 1$

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0 (п. 1):

$\log_{125}1 = 0$

Ответ: 0.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

– При $a > 1$ логарифмическая функция монотонно возрастает:

На данном графике $a = 2.$

– При$\ 0 < a < 1$ логарифмическая функция монотонно убывает:

На данном графике $a = 0,5.$

СВОЙСТВА ГРАФИКА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ: