Однородные уравнения

Однородные уравнения

На этом уроке мы рассмотрим довольно сложные уравнения, которые называются однородными на примерах тригонометрических и показательных уравнений.

Знакомство с однородными уравнениями мы начнем с рассмотрения следующих примеров:

$4^{x} - 3^{x} = 0$

$5\sin x + 3\cos x = 0$

Подобные уравнения называют однородными.

Способ решения – деление на одну из функций с учетом, что она не равна нулю.

$f\left( x \right) + g(x) = 0/:f(x) \neq 0$

Посмотрим на данное тригонометрическое уравнение.

$2\sin x + 3\cos x = 0$

Решение.

Давайте его проанализируем. Имеем две разные тригонометрические функции.

Чтобы решить уравнение, мы должны свести его к одной функции. Существует множество формул, позволяющие комбинировать разные типы функций между собой, но нам они не понадобятся, так как будем пользоваться особым способом: поделим левую и правую часть уравнения на одну из этих функций, например, на косинус.

$2\sin x + 3\cos x = 0\ /:cosx \neq 0$

Но давайте поразмыслим, почему мы можем взять и поделить на косинус, ведь исходя из равносильности преобразований, мы не можем делить на выражения, содержащие переменную. Предположим, что косинус равен нулю, и подставим в уравнение ноль.

$2\sin x + 3 \bullet 0 = 0$

$2\sin x = 0$

Получим, что синус будет равен тоже нулю. Но такое невозможно, так как одновременно и косинус, и синус при одном значении угла равны нулю. В таком случае Основное тригонометрическое тождество не выполняется.

Поэтому мы в данном случае и можем делить на одну из функций.

Продолжим, синус, деленный на косинус, это тангенс.

$\frac{2\sin x}{cosx} + \frac{3\cos x}{cosx} = 0$

Во втором слагаемом косинусы сокращаются, получаем просто тройку. Заметим, что теперь у нас фигурирует только тангенс, то есть мы свели к одной тригонометрической функции.

$2\text{tg}x + 3 = 0\$

Имеем значение тангенса, поэтому найдем угол, воспользовавшись обратной функцией. И запишем ответ

$\text{tg}x = - \frac{3}{2}\$

$x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z$

Ответ: $x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z$.

Подобные тригонометрические уравнения, в которых есть 2 разные функции в первой степени и которые не имеют свободного коэффициента, называются однородными первой степени.

Метод решения однородных тригонометрических уравнений – деление на одну из функций, к примеру косинус. Не забываем добавлять, что косинус не равен нулю.

$a\sin x + bcos\ x = 0$

$a\sin x + b\cos x = 0\ /:cosx \neq 0$

Далее рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение, но уже второй степени. Однородные уравнения второй степени содержат 3 слагаемых, два из которых – это – 2 разные функции во второй степени, а третье – произведение этих разных функций первой степени, то есть в итоге каждое слагаемое будет иметь вторую степень.

Способ решения точно такой же – делим уравнение, но уже на квадрат функции.

$f^{2}(x) + f\left( x \right) \bullet g(x) + g^{2}(x) = 0/:f^{2}(x) \neq 0$

Рассмотрим следующее задание.

$\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0$

Решение.

Теперь у нас первое и третье слагаемое второй степени, а второе содержит синус и косинус первой степени. В такой ситуации поступают почти аналогичным образом – делят на косинус, но уже во второй степени, который не равен нулю.

$\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\ /:\cos^{2}x \neq 0$

Заметим, что у нас получится снова уравнение, содержащее только одну функцию – тангенс. Правда, если мы произведем замену и введем новую переменную вместо тангенса, то получим квадратное уравнение относительно переменной, например, t.

$\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} + \frac{3\sin x\cos x}{\cos^{2}x} + \frac{2\cos^{2}x}{\cos^{2}x} = 0$

$\text{tg}^{2}x + 3\text{tg}x + 2 = 0$

$t^{2} + 3t + 2 = 0$

$\text{tg}x = t$

Решить квадратное уравнение нам поможет второе следствие из теоремы Виета, которое гласит, что если сумма коэффициентов a и c равна коэффициенту b, то первый корень равен -1, а второй минус c, деленный на a. Таким образом значения тангенса будут -1 и -2.

$\text{tg}x = - 1\ и\ tgx = - 2$

Осталось найти сами корни:

$x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z$

Вот и вся работа! Вместо большого и сложного уравнения мы решили квадратное и два простейших тригонометрических. Хотя однородные уравнения и могут выглядеть неприятно на первый взгляд, но решать их легко, если знать как.

Ответ: $x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ и\ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z$

Продолжим работу с похожими, но уже показательными однородными уравнениями.

$3 \bullet 16^{x} - 5 \bullet 36^{x} + 2 \bullet 81^{x} = 0$

Решение.

Проблема данного показательного уравнения состоит в том, что мы теперь не можем поделить до красивого сокращения, как делали в тригонометрии ранее, поскольку результат деления нам даст три разных слагаемых, и не получится единый вид.

$3 \bullet \frac{16^{x}}{16^{x}} - 5 \bullet \frac{36^{x}}{16^{x}} + 2 \bullet \frac{81^{x}}{16^{x}} = 0$

Значит, нам следует изначально преобразовать исходное уравнение. Пользуясь свойствами степеней, мы способны изменить каждое слагаемое и привести к новому виду:

$3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0$

Показательная функция не равняется нулю, значит мы сейчас можем поделить на $4^{2x}$ или $9^{2x}$ , при этом корни мы не потеряем.

$3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0/:\ 4^{2x}$

Получим следующий вид:

$3 \bullet \frac{4^{2x}}{4^{2x}} - 5 \bullet 4^{x} \bullet \frac{9^{x}}{4^{2x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0$

$3 - 5 \bullet \frac{9^{x}}{4^{x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0$

Теперь произведем стандартный прием замены.

${(\frac{9}{4})}^{x} = t,\ t > 0$

И получим обыкновенное квадратное уравнение.

$2 \bullet t^{2} - 5 \bullet t + 3 = 0$

Решив уравнение, получим $t = \frac{3}{2}\ и\ t = 1$. Оба корня подходят под ограничения.

Проводим обратную замену для обоих значений.

${(\frac{9}{4})}^{x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ {(\frac{9}{4})}^{x} = 1$

Решаем показательные простейшие уравнения

${(\frac{3}{2})}^{2x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0$

$2x = 1\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0$

$x = 0,5\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0$

На это решение однородного показательного уравнения закончилось, и мы получили ответ. Сначала мы чуть-чуть преобразовали исходное уравнение, затем поделили на функцию и произвели замену, а далее все стандартно.

Ответ:$\ x = 0,5\ \ \ x = 0$.

Подведем итог, в данном разделе мы рассмотрели, что же такое однородное уравнение; основные признаки однородных уравнений: в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями (то есть две разные функции), все одночлены имеют одинаковую степень (для этого считаем сумму слагаемых), а свободный член равен нулю; разобрали 2 вида уравнений: тригонометрические и показательные. Основная идея решения таких уравнений – деление на функции, при этом не теряя корней, об этом не стоит забывать!