Смысл производной

Смысл производной

Геометрический смысл производной

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как связаны значение производной и поведение функции:

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

$Функция\ возрастает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) > 0$

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

$Функция\ убывает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) < 0$

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

$Точка\ экстремума\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) = 0$

Точка максимума

До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.

$Максимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\ \mathbf{+ \ \Rightarrow \ -}$

Точка минимума

До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

$Минимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\mathbf{- \ \Rightarrow \ +}$

Физический смысл производной

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону $x(t)$. Получается, что $x\left( t \right)$ — это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость.

То есть:

Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от функции координаты:

$v\left( t \right) = x'(t)$

Темп изменения скорости – это ускорение. Поэтому:

Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

$a\left( t \right) = v^{'}\left( t \right) = x''(t)$