Разложение на множители. Группировка

Разложение на множители. Группировка

Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

ВЫНЕСЕНИЕ ЗА СКОБКИ:

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы.

Разложим на множители выражение $2x^{2}y + xy^{2}$.

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это xy.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

$2x^{2}y + xy^{2} = xy\left( \frac{2x^{2}y}{\text{xy}} + \frac{xy^{2}}{\text{xy}} \right) = xy(2x + y)$

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

$–2t^{2}\ –\ t = \ –t(2t + 1)$

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

ГРУППИРОВКА:

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать.

$35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}$

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку:

$35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = (35a^{2} + 7a^{2}b^{2}) + (5b + b^{3})$

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки:

$(35a^{2} + 7a^{2}b^{2}) + (5b + b^{3}) = 7a^{2}(5 + b^{2}) + b(5 + b^{2})$

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения в скобках точно так же, как выносятся одночлены:

$7a^{2}(5 + b^{2}) + b(5 + b^{2}) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2})$

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых.

$2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z$

1. Группируем отдельные слагаемые:

$2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z =$

$\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right)$

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только 1:

$\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right) =$

${1 \bullet \left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) +}$

$2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})$

3. 3.Выносим повторяющиеся скобки:

$1 \bullet \left( 13\text{xy} + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z\left( 13\text{xy} + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) = \left( 13\text{xy} + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right)(1 + 2z)$

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА:

Выражения вида $ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0,\ b,\ c$ – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

$ax^{2} + bx + c = a(x\ –x_{1})(x\ –\ x_{2})$

где $x_{1}$ и $x_{2}$ корни уравнение $ax^{2} + bx + c = 0$

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение

$x^{2} + 3x\ –\ 4$

1. Определим корни уравнения $x^{2} + 3x\ –\ 4 = 0$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета:

$\left\lbrack \frac{x_{1} = 1}{x_{2} = \ –4} \right.\$

2. Подставим найденные корни в формулу

$ax^{2} + bx + c = a(x\ –x_{1})(x\ –\ x_{2})$.

В данном случае

$a = 1$.

$x^{2} + 3x\ –\ 4 = (x\ –\ 1)(x + 4)$

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ:

Раскладывать на множители в некоторых уравнениях удобно по тому, что у произведения двух выражений есть полезное свойство:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие не теряют смысла.

$5x^{2}\ –\ 15x = 0$

1. Вынесем за скобки повторяющееся выражение:

$5x^{2}\ –\ 15x = 0$

$5x(x\ –\ 3) = 0$

2. Если произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю, тогда:

$5x = 0$

$x = 0$

или

$x\ –\ 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: 0; 3.