Прикладные задачи

Прикладные задачи

При работе с текстовыми задачами требуется умение не только верно работать с математическими уравнениями и выражениями, но и уметь «переводить» словесный язык в язык математики. Сначала рассмотрим принципы алгебраических преобразований.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ:

Выражение неизвестной переменной может включать в себя множество комбинаций различных алгебраических преобразований, но их самих не так много. Давайте посмотрим на буквенном примере, как они могут комбинироваться и как с ними работать.

Если в выражении $x\$– переменная, а $a,\ b,\ c,\ m,\ n,\ k,\ l,\ y$ – какие-то числа, то выразим переменную из следующего выражения:

$\frac{m(b\ –\ ax)}{n} + k = y + l$

1. Если переменная x является частью выражения в некоторой скобке, а не является отдельным слагаемым или множителем, можем представить эту скобку, содержащую переменную, как число, которое необходимо выразить.

Например:

$c = b\ –\ ax$

$\frac{\text{mc}}{n} + k = y + l$

Тяжело выделить переменную – представим, что скобка с ней – новая переменная, которую нужно найти.

2. Теперь будем выражать $c$, пока слева не останется только оно. Для начала уберем $k\$с правой стороны уравнения. Для этого вычтем $k\$из обоих частей уравнения.

Получим:

$\frac{\text{mc}}{n} + k\ –\ k = y + l\ –\ k$

$\frac{\text{mc}}{n} = y + l\ –\ k$

Видим лишнее слагаемое – вычитаем его из обеих частей уравнения.

3. Для того, чтобы слева осталось только $c$, нужно разделить обе части уравнение на его множитель $\frac{m}{n}$ . Справа делить нужно все выражение, то есть взять его в скобки перед тем, как делить:$\frac{\text{mc}}{n}:\frac{m}{n} = \left( y + l–k \right):\frac{m}{n}$

$\frac{\text{mc}}{n} \bullet \frac{n}{m} = \left( y + l\ –\ k \right) \bullet \frac{n}{m}$

$c = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}$

Видим лишний множитель – делим на него обе части уравнения.

4. Теперь вернемся от c к выражению, содержащему $x$:

$b\ –\ ax = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}$

Не забываем вернуться к изначальному выражению, если заменяли скобку с переменной.

5. Выразим $x$ аналогично как в п. 2 и п. 3:

– Вычтем с обеих сторон $b$, получим:

$b\ –\ ax\ –b = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b$

$–\ ax = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b$

Вычитаем на лишнее слагаемое.

– И разделим обе части на множитель -a:

$\frac{–\ ax}{–\ a} = \left( \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b \right):\left( –a \right)$

$x = \ –\ \left( \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b \right) \bullet \frac{1}{a}$

Делим на лишний множитель.

АЛГОРИТМ «МЕТОД ЗАМАЗКИ»:

1. Читаем условие.
2. Выписываем формулу.
3. Находим, что дано: заменяем буквы на числа.
4. Определяем, что найти: единственная буква, оставшаяся в уравнении.
5. Решаем уравнение/неравенство.
6. Проверяем ответ: на соответствие вопросу, на адекватность.

Закон Ома для полной цепи можно записать в виде$\ I = \frac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ – электродвижущая сила, I – источник тока в цепи, R – активное сопротивление, r – сопротивление источника. Пользуясь формулой, найдите величину r, если сила тока в цепи 8 А, электродвижущая сила 97В, а активное сопротивление 12 Ом.

Решение:

1. Читаем условие.

2. Выписываем формулу:

$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$

3. Находим, что нам дано и вписываем эти значения в формулу:

$I = 8A$

$\varepsilon = 97B$

$R = 12\ Ом$

$8 = \frac{97}{12 + r}$

4. Единственная оставшаяся буква – то, что нужно найти. В данном случае, это r. Действительно, в условии просят найти именно это величину.

5. Решим уравнение относительно этой переменной. Используем правила алгебраических преобразований:

$r = \frac{97}{8} - 12 = 0,125$

6. Проверяем ответ. Действительно просили найти r. Попробуем подставить эту букву в уравнение:

$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$

$8 = \frac{97}{12 + r}$

$8 = \frac{97}{12 + 0,125} = \frac{97}{12,125} = 8$

Всё верно. Можем записывать ответ.

Ответ: 0,125

ВЫБОР ОТВЕТА И ПРОВЕРКА НА АДЕКВАТНОСТЬ:

Если в задаче получили несколько ответов – не выбираем сразу «наибольшее» / «наименьшее», а проверяем каждый из них на соответствие вопросу задачи.

Высота над замлей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h\left( t \right) = 2,2 + 7t - 5t^{2}$, где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 1 метр?

Решение:

1. Записываем уравнение:

$h\left( t \right) = 2,2 + 7t - 5t^{2}$

2. Заменяем все известные величины на данные в условии цифры. Единственная оставшаяся величина – t.

$1 = 2,2 + 7t - 5t^{2}$

3. Найдем t из получившегося уравнения с помощью алгебраических преобразований:

$1,2 + 7t - 5t^{2} = 0$

$t_{1,2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4\left( - 5 \right)\left( - 1.2 \right)}}{2( - 5)}$

4. Проверим ответ на соответствие:

$t_{1} = 1,2$

$t_{2} = 0,2$

Видим два ответа. Чтобы узнать, какой записать в ответ, подумаем над ситуацией в задаче. Как мяч мог два раза пройти отметку в 1 м? Сначала мяч подкинули вверх. А затем он начал падать вниз, значит снова прошёл отметку в 1 м уже при падении. Нас интересует взлет мяча, поэтому выберем меньшее время, то есть 0,2 с. Смело записываем ответ.

Ответ: 0,2

Также ответ можно проверять на адекватность. Это значит, что все полученные значения должны быть реальными для описываемой ситуации. В проверку на адекватность входят несколько основных пунктов:

1. Выбор между положительным и отрицательным:

Время и скорость в таких задачах не может быть отрицательным. При выборе между положительным и отрицательным значениями нужно выбирать только положительное.

2. Величины соразмерны друг другу:

Скорости различных тел в текстовых задачах соразмерны реальным. Это значит, что любая скорость автомобиля или поезда будет больше скорости, например, пешехода или улитки. Все как в реальной жизни.

3. Величины соразмерны реальным:

Все расчеты проводятся в одинаковых единицах измерения, чтобы не возникло ситуации, когда масса, скорость или объем тел несоразмерны реальным. Скорость автомобиля может равняться 100 км/ч, но не 100 м/с.