Теорема Менелая и теорема Чевы

Теорема Менелая и теорема Чевы

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника:

По теореме Менелая точки $A_{1}{,\ B}_{1}\ и\ C_{1}$ лежат на одной прямой, если:

$\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \bullet \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \bullet \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1$

Отрезки в данном отношении располагаются по порядку: от вершины к точке (AC₁), от точки к вершине (C₁B), и так далее.

ВЕКТОРНАЯ ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

Данную теорему можно доказать, используя векторный метод. Рассмотрим теорему Менелая, обратную её теорему и её доказательство.

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника, при этом:

$\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}$

$\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}$

$\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}$

где p, q, r – некоторые числа

Тогда, если точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ лежат на одной прямой, то:

$pqr = \ –1$

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

Если $pqr = \ –1$, то точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник, на продолжении сторон которых поставили точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ таким образом, что они находятся на одной прямой. Расположим на координатной плоскости этот треугольник так, чтобы точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ лежали на прямой Оу. В таком случае их абсциссы равны нулю.
2. Тогда для вершин треугольника обозначим абсциссы, не равные нулю. Для точки А абсцисса равна a, для точки B – b. Для точки С – c.

3. Докажем, что при

$\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}$

$\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}$

$\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}$

произведение $pqr\ равно\ –1$.

1. рассмотрим абсциссы векторов $\overrightarrow{AC_{1}}\ и\ \overrightarrow{C_{1}B}$:

• абсцисса $\overrightarrow{AC_{1}}$ равна разнице абсцисс конечной и начальной точки вектора: (0 – a);
• абсцисса $\ \overrightarrow{C_{1}B}$ аналогична равна: $(b\ –0);$

Тогда абсциссы $\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}$ равны:

$0\ –\ a = p(b\ –\ 0)$

$a = \ –pb$

2. аналогично рассмотрим абсциссы векторов $\overrightarrow{\text{BA}_{1}}\ и\ q\overrightarrow{A_{1}C}$:

• абсцисса $\overrightarrow{\text{BA}_{1}}$ равна: $(0\ –b)$;
• абсцисса $\overrightarrow{A_{1}C}$ равна: $(c\ –0)$;

Тогда абсциссы $\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}$ равны:

$0\ –b = q\left( c–0 \right)$

$b = \ –qc$

3. для $\overrightarrow{\text{CB}_{1}}\ и\ \overrightarrow{B_{1}A}$:

• абсцисса $\overrightarrow{\text{CB}_{1}}$ равна: (0 – с);
• абсцисса $\overrightarrow{B_{1}A}$ равна: (a – 0);

Тогда абсциссы $\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}$:

$0\ –c = r\left( a–0 \right)$

$c\ = \ –ra$

4. Выразим абсциссу a через полученные значения:

$a = \ –pb$

$a = \ –p\left( –qc \right)$

$a = \ –p\left( –q(–ra) \right)$

$a = \ –pqr \bullet a$

$a(pqr + 1) = 0$

Тогда либо $a = 0$, либо $\text{pqr} = \ –1$.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника:

По теореме Чевы прямые $AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1}$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны, если:

$\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \bullet \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \bullet \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1$

Так же, как и в т. Менелая используются те же отношения отрезков по порядку: от вершины к точке, от точки к вершине.

ВЕКТОРНАЯ ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Аналогично теореме Менелая теорему Чевы можно представить и доказать с помощью векторного метода.

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника, при этом:

$\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}$

$\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}$

$\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}$

где p, q, r – некоторые числа

Тогда, если прямые $AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1}$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то:

$pqr = 1$

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Если $pqr = 1$, то прямые ${АA}_{1},\text{BB}_{1},CC_{1}$ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Расположим на координатной плоскости треугольник и попарно параллельные прямые ${АA}_{1},\text{BB}_{1},CC_{1}$:

2. Тогда у точек будут следующие абсциссы:

$A = A_{1} = a$

$B = B_{1} = b$

$C = C_{1} = c$

3. Аналогично теореме Менелая найдем абсциссы каждого вектора:

1. абсциссы векторов $\overrightarrow{AC_{1}}\ и\ \overrightarrow{C_{1}B}$:

• абсцисса $\overrightarrow{AC_{1}}$ равна: $(c\ –a);$
• абсцисса $\ \overrightarrow{C_{1}B}$ аналогична равна: $(b\ –c)$;

Тогда абсциссы $\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}$ равны:

$c\ –\ a = p(b\ –\ c)$

$p = \frac{c\ –\ a}{b\ –\ c}$

2. абсциссы векторов $\overrightarrow{\text{BA}_{1}}\ и\ q\overrightarrow{A_{1}C}$:

• абсцисса $\overrightarrow{\text{BA}_{1}}$ равна: $(a\ –b);$
• абсцисса $\overrightarrow{A_{1}C}$ равна: $(c\ –a);$

Тогда абсциссы $\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}$ равны:

$a\ –b = q\left( c–a \right)$

$p = \frac{a\ –\ b}{c\ –\ a}$

3. для $\overrightarrow{\text{CB}_{1}}\ и\ \overrightarrow{B_{1}A}$:

• абсцисса $\overrightarrow{\text{CB}_{1}}$ равна: $(b\ –с);$
• абсцисса $\overrightarrow{B_{1}A}$ равна:$\ (a\ –b);$

Тогда абсциссы $\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}$:

$b\ –c = r\left( a–b \right)$

$r = \frac{b\ –\ c}{a\ –\ b}$

4. Найдем произведение pqr:

$pqr = \frac{c\ –\ a}{b\ –\ c} \bullet \frac{a\ –\ b}{c\ –\ a} \bullet \frac{b\ –\ c}{a\ –\ b} = 1$

Что и требовалось доказать.