Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

При этом задаются ограничения:

$a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$.

Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Для решения логарифмических уравнений нужно:

1. Прописывать ОДЗ.
2. Следовать алгоритму решения.
3. Знать свойства логарифмов.

Рассмотрим каждый пункт подробнее.

ОДЗ:

Область допустимых значений для логарифма вида $\log_{a}b = c$ записываются как:

$\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \\ \end{matrix} \right.\$

ОДЗ пишем на функции в ИСХОДНОМ уравнении!

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

Главная цель (после цели получить ответ) при решении – избавиться от логарифмов, отсюда исходят две различные ситуации. Первая: логарифм только с одной стороны. Вторая: логарифмы с обеих сторон.

Первый способ решения: по определению

$\text{lo}g_{a}b = c$

$b = a^{c}$

Второй метод решения: потенцирование

$\text{lo}g_{a}f\left( x \right) = log_{a}g\left( x \right)$

$f\left( x \right) = g\left( x \right)$

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений двумя алгоритмами.

Решите уравнение:

$\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4$

1. Сначала нужно прописать ОДЗ:

$\left( - x^{2} - 8x \right) > 0$

2. Выразим из этого неравенства x:

$- x^{2} - 8x > 0$

$x\left( x + 8 \right) < 0$

ОДЗ: $x \in ( - 8;0)$

3. Воспользуемся определением логарифма и решим получившееся уравнение:

$\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4$

$- x^{2} - 8x = 2^{4}\ | \cdot ( - 1)$

$x^{2} + 8x + 16 = 0$

$\left( x + 4 \right)^{2} = 0$

$x = - 4$

Ответ: $- 4.$

Решите уравнение:

$\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}$

1. Снова начинаем с ОДЗ. Здесь нужно соблюдать ограничения уже для двух логарифмов:

$\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x^{2} + 11x > 0 \\ \text{\ \ } \\ 3x + 9 > 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ } \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x(x + 11) > 0 \\ \text{\ \ } \\ x + 3 > 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ x < - 11 \\ \ \ x > 0 \\ x > - 3\ \\ \end{matrix}\ \Longrightarrow x \in (0; + \infty) \right.\$

2. Потенцируем уравнение:

$\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}$

$x^{2} + 11x = 3x + 9$

$x^{2} + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета:

Ответ: 1.