Отбор корней с помощью двойного неравенства

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Для того, чтобы отобрать корни при решении тригонометрических уравнений использую двойные неравенства. Мы ставим серию ответов в двойное неравенство, которое определяется заданным промежутком и ищем подходящие корни. Этот метод максимально прост. Все, что требует при отборе корней данным методом – уметь решать двойные неравенства. Но у этого есть и обратная сторона. При работе с двойными неравенствами можно совершить ошибку по невнимательности.

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО НЕРАВЕНСТВА:

1. Полученное решение записываем в двойное неравенство, определяющее заданный промежуток.
2. Решаем неравенство относительно n. Мы знаем, что n – количество периодов, которое может быть только целым числом. Если n попадает в промежуток, где нет целых чисел, тогда данная серия ответов не подходит.
3. Подставляем полученное n в серию ответов и находим нужные углы.

Даны корни уравнения:

$x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}$

$x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}$

Найдите корни, принадлежащие отрезку$\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack$

1. Составим двойное неравенство с первой серией ответов:

$- \pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}$

2. Решим двойное неравенство. Так как нам нужно выразить n, которое находится в середине двойного неравенства, будет постепенно убирать из этой части слагаемые и множители. Вычтем из каждой части неравенства слагаемое $\frac{\pi}{3}$:

$- \pi - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

$- \frac{4\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{6}$

3. Теперь избавимся от лишнего множителя посередине. Поделим каждую часть неравенства на $2\pi$:

$- \frac{4\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{8\pi}{6 \bullet 2\pi}$

$- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}$

4. Таким образом единственное целое значение $n$, которое попадает в данный промежуток – это $n = 0$. Подставим в серию ответом это значение n и найдем угол:

$x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3}$

5. Аналогично составим и решим двойное неравенство со второй серией ответов:

$- \pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}$

6. Вычтем слагаемое $\frac{2\pi}{3}$ из каждой части уравнения:

$- \pi - \frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}$

$- \frac{5\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{5\pi}{6}$

7. Поделим каждую часть уравнения на $2\pi$

$- \frac{5\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{5\pi}{6 \bullet 2\pi}$

$- \frac{5}{6} \leq n \leq \frac{5}{12}$

8. Мы получили промежуток, в котором n также принимает единственное целое значение, когда $n = 0.$ Найдем угол, зная, чему равно n:

$x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}$.