Графические методы решения

ПАРАМЕТР

Графические методы решения

Для решения задач с параметром графическим методом нужно знать основные типы функций и внешний вид их графиков

Основные функции:

$y = kx + b$ – линейная функция, графиком является прямая. В зависимости от коэффициента k может возрастать, убывать или проходить параллельно координатным осям.

$y = ax^{2} + bx + c$ – квадратичная функция, графиком является парабола. В зависимости от коэффициента a ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = \frac{k}{x}$ – функция обратной пропорциональности, графиком является гипербола. В зависимости от коэффициента k лежит в 1 и 3 или 2 и 4 четвертях.

$y = \log_{a}x$ – логарифмическая функция. В зависимости от основания a может возрастать или убывать.

$y = a^{x}$ – показательная функция. В зависимости от основания a может возрастать или убывать.

$y = \left| f\left( x \right) \right|$ – функция модуля. Изначально строится график функции $f(x)$ , затем его отрицательная часть отражается в положительную.

$\left( x - a \right)^{2} + \left( y - b \right)^{2} = R^{2}$ – уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом |R|.

$y = \sqrt{R^{2} - \left( x - a \right)^{2}} + b$ задает верхнюю полуокружность с центром в точке $\left( a;b \right)$ и радиусом |R|.

$y = - \sqrt{R^{2} - \left( x - a \right)^{2}} + b$ задает нижнюю полуокружность с центром в точке $\left( a;b \right)$ и радиусом |R|.

$\left| x - a \right| + \left| y - b \right| = c$ – уравнение квадрата с центром в точке (a; b). Если перед модулями коэффициенты отличаются, то графиком будет ромб.

Сдвиги функций

Сдвиг	Характеристика
$f_{a}\left( x \right) = f\left( x \right) + a$	График отличается от графика функции $f(x)$ смещением вдоль оси Оу на а единиц вверх при $a > 0$ и на а единиц вниз при $a < 0$
$f_{a}\left( x \right) = f\left( x + a \right)$	График отличается от графика функции $f(x)$ смещением вдоль оси Оx на а единиц влево при $a > 0$ и на а единиц вправо при $a < 0$
$f_{a}\left( x \right) = af\left( x \right)$	График отличается от графика функции $f(x)$ сжатием вдоль оси Оу при $a > 1$ , расширением $0 < a < 1$ и преобразованием симметрии относительно оси абсцисс при $a = - 1$

Решение уравнений и их систем графическим методом

Основные этапы решения задач с параметром графическим методом:

Приведение каждого уравнения системы к элементарной функции или разбиение уравнения на две элементарные функции;
Определение типов функций и построение графиков без параметра;
Сдвиги графиков с параметром в зависимости от значения параметра и анализ взаимного расположения;
Использование знаний алгебры или планиметрии, если не возможно по графику определить значение параметра а.

Пример:

Найдите все значения параметра a, при которых система $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 9 \\ y = a \\ \end{matrix} \right.\$ имеет ровно 1 решение.

Решение:

1) Рассмотрим каждое уравнение системы по-отдельности:

$x^{2} + y^{2} = 9$ – уравнение окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 3.
$y = a$ – набор прямых, параллельных оси OX.

2) Построим графики функций в одной координатной плоскости:

3) Получаем, что ровно одно пересечение графики будут иметь при касании в точках (0;3) и (0; -3). Тогда значение параметра равно 3 и -3.

Ответ: при $a = 3$ и $a = - 3$ .

Решение неравенств графическим методом

Основное отличие в решении неравенств и уравнений графическим методом заключается в том, что при работе с неравенствами на координатной плоскости строятся не просто графики (линии), а выделяются целые области.

Пример:

Найдите все значения параметра a, при которых система $\left\{ \begin{matrix} y \geq x + 2 \\ y \leq \text{ax} \\ \end{matrix} \right.\$ имеет хотя бы одно решение на промежутке $(2;4)$ .

Решение:

1) Рассмотрим каждое неравенство системы по-отдельности:

$y = x + 2$ – линейная функция, график – прямая.

$y \geq x + 2$ – область координатной плоскости, лежащая выше прямой $y = x + 2$ .

$y = \text{ax}$ – пучок прямых, проходящих через точку (0;0) и имеющих разные углы наклона.

$y \leq \text{ax}$ – область координатной плоскости, лежащая ниже прямой $y = \text{ax}$ .

2) Построим данные области на координатной плоскости, а также выделим заданный в условии промежуток:

При $a < 0$

Заметим, что при отрицательных значениях параметра выделенные области пересекаются левее заданного промежутка. Значит данные значения нам не подходят.

При $а = 0$

Выделенные области пересекаются в точке (2;0), но так как границы заданного промежутка исключены, то данный случай нам также не подходит.

При $a > 0$

Выделенные области пересекаются внутри заданного промежутка, поэтому система будет иметь хотя бы 1 решение.

Причем, при увеличении значения параметра a угол наклона прямой, ограничивающей область $y \leq \text{ax}$ , будет увеличиваться, а значит будет увеличиваться площадь пересечения $y \leq \text{ax}\ и\ y \geq x + 2$ . Таким образом, при $a > 0$ система будет иметь хотя бы 1 решение.

Ответ: $при\ a > 0$ .

Самые распространенные комбинации функций в заданиях с параметром

Чаще всего в задании №17 встречаются комбинации различных функций с окружностью.

Взаимное расположение прямых и окружности

Прямая $y = a$ может не пересекать окружность, пересекать в одной точке и пересекать в двух точках.

Пучок прямых $y = ax + b$ имеет две общих точки с окружностью, если общая точка, принадлежащая пучку прямых, лежит внутри окружности.

Пучок прямых $y = ax + b$ имеет две общих точки, одну точку или не имеет точек с окружностью, если общая точка, принадлежащая пучку прямых, лежит вне окружности.

Взаимное расположение двух окружностей

Окружности могут пересекаться (две общие точки), касаться (одна общая точка), совпадать (множество общих точек), и не пересекаться (не иметь общих точек).

Если d – расстояние между центрами двух окружностей, то: