Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Виды треугольников Площадь круга и сектора круга Прямоугольник Биссектриса Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Движения Равенство фигур Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Медиана Ромб Теорема Пифагора Векторы Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Многоугольники Средняя линия Высота Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Метод координат на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов
Реальная математика
Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Множества Основы комбинаторики Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по прямой
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Векторы в пространстве Тела вращения Двугранный угол Пирамиды Призмы Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Иррациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Уравнения с модулем Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Логарифмические уравнения
Анализ функций
Смысл производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Графическое применение производной Интеграл Экстремумы Первообразная Преобразование графиков функции
Неравенства
Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств

Движения в пространстве

Движения в пространстве – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.

Движения в пространстве в целом имеют тот же смыл, что и движения в плоскости. Существуют следующие движения: центральная симметрия, осевая симметрия и зеркальная симметрия.

Разберем каждый вид движения подробнее.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ:

Центральная симметрия – это движение, при котором любая точка пространства отображается относительно точки.

Это движение имеет прямую аналогию с центральной симметрией на плоскости. Например, любая нечетная функция является симметричной самой себе относительно начала координат, то есть точке \(O\left( 0;0 \right)\). Тогда точки, симметричные относительно начала координат, имеют одинаковые по модулю и разные по знаку координаты.

Также и в пространстве. Если мы имеем в пространстве точку \(A(x;y;z)\), то симметричная ей точка относительно начала координат будет \(A_{1}( - x; - y; - z)\):

Если мы найдем расстояние между началом координат и одной из этих точек, то мы убедимся, что эти расстояния равны:

\(\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)

\(\left| \overrightarrow{OA_{1}} \right| = \sqrt{{( - x)}^{2} + {( - y)}^{2} + {( - z)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)

\(\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = \left| \overrightarrow{OA_{1}} \right|\)

Значит, при симметричном относительно точки \(O\) отображении точки \(A\) в \(A_{1}\) сохраняется расстояние до точки симметрии.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ:

Осевая симметрия – это движение, при котором любая точка пространства отображается относительно прямой. Эта прямая и называется осью симметрии.

Мы знаем, что на плоскости любая четная функция симметричная относительно оси. Когда мы отображаем точку на плоскости относительно оси \(\text{Ox}\), мы получаем точку с противоположной координатой \(y\), а координата \(x\) остается неизменной.

Точно так же и в пространстве:

  • Если отобразить точку \(A(x;y;z)\ \)относительно оси \(\text{Ox}\), получим точку \(A_{1}(x; - y; - z)\);

  • Если отобразить точку \(B\left( x;y;z \right)\) относительно оси \(\text{Oy}\), получим точку \(B_{1}( - x;y; - z)\);

  • Если отобразить точку \(C(x;y;z)\) относительно оси \(\text{Oz}\), получим точку \(C_{1}( - x; - y;z)\).

Знак НЕ поменяет та координата, относительно оси которой отображается точка.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ:

Зеркальная симметрия – это движение, при котором любая точка пространства отображается относительно плоскости.

Принцип нахождения координат точки, зеркально симметричной данной относительно плоскости остаётся таким же – не меняются знаки тех координат, через оси которых проходит плоскость симметрии.

  • Если отобразить точку \(A(x;y;z)\ \)относительно оси \(\text{Ox}y\), получим точку \(A_{1}(x;y; - z)\);

  • Если отобразить точку \(B\left( x;y;z \right)\) относительно оси \(\text{Oyz}\), получим точку \(B_{1}( - x;y;z)\);

  • Если отобразить точку \(C(x;y;z)\) относительно оси \(\text{Oxz}\), получим точку \(C_{1}(x; - y;z)\).