Сложные проценты

Билет на концерт стоил 1000 рублей. За месяц до концерта цена билета вырастет на 10%, а перед входом можно будет купить билет еще на 10% дороже. Сколько будет стоить билет перед входом на концерт?

1. Понятно, что, если билет подорожал на 10%, значит надо к изначальной стоимости прибавить 10% от неё же. То есть:

\(1000 + 1000 \bullet \frac{10}{100}\)

Вынесем изначальную стоимость за скобки:

\(1000(1 + 0,1) = 1000 \bullet 1,1 = 1100\)

Последнее действие можно представить как умножение изначальной стоимости сразу на 110%. Действительно, если у нас было 100% и мы прибавили к ним еще 10%, то в итоге и получается 110% от изначальной цены.

2. Но перед входом цена будет дороже еще на 10%:

\(1100(1 + 0,1) = 1100 \bullet 1,1 = 1210\)

Такое неоднократное повышение чего-либо на одинаковый процент несколько раз – и есть сложные проценты.

Ответ: 1210.

Выведем общую формулу сложного процента:

1. Обозначим начальную стоимость билета за \(S\), а процент, на которой цена вырастет, за\(\ r\).

\(S = 1000\)

\(r = 10\)

2. Тогда вот каким образом цена поменяется за месяц до концерта:

\(S + S \bullet \frac{r}{100} = S(1 + \frac{r}{100})\)

3. Перед концертом эта стоимость вырастет в то же количество процента и станет равна:

\(S(1 + \frac{r}{100}) \bullet (1 + \frac{r}{100})\)

4. Умножение на одинаковую скобку несколько раз можем записать как скобку в квадрате:

\(S\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{2}\)

Таким образом

\(S\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{n}\)– это формула сложного процента.

где \(S\) – изначальная стоимость, \(r\ \)– процент изменения стоимости, \(n\) – количество раз её изменения.