Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Свойства функций Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Графики тригонометрических функций
Неравенства
Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Виды треугольников Скалярное произведение векторов Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Многоугольники Ромб Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Окружнoсть и круг Серединный перпендикуляр Высота Движения Векторы Равенство фигур Метод координат на плоскости Квадрат Площади четырёхугольников Симметрия Средняя линия Отношения в геометрии Треугольники. Площади Прямоугольник Подобие фигур Теорема Пифагора Трапеция Площадь круга и сектора круга Медиана Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов
Реальная математика
Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Призмы Сечения в многогранниках Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Двугранный угол Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Элементы и аксиомы стереометрии
Уравнения
Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства

Преобразование графиков функции

Графики функций зачастую имеют не стандартный вид. Помимо привычных простых функций, таких как \(y = x^{2}\ или\ y = \frac{1}{x}\) могут встречаться на первый взгляд более сложные функции, например, \(y = {(3x\ –1)}^{2}\) или \(y = \left| \frac{1}{x} \right|\). Чтобы построить такие графики, нужно соблюдать ряд правил преобразования функций. Каждая «сложная» функция состоит из набора таких преобразований.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если у мы знаем функцию f(x) и нам нужно построить функцию f(–x) (то есть заменить все иксы в функции на противоположные), тогда нужно отразить график симметрично относительно оси Оу, т.е. все ординаты останутся неизменными, а абсциссы поменяют знак.

Например:

Четная функция при таком изменении не изменяется, т.к. это следует из определения четной функции.

ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если у мы знаем функцию f(x) и нам нужно построить функцию –f(x) (то есть заменить все значения функции на противоположные), тогда нужно отразить график симметрично относительно оси Ох, т.е. все абсциссы останутся неизменными, а ординаты поменяют знак.

Например:

СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если у мы знаем функцию \(f(x)\) и нам нужно построить функцию \(f(x\ \pm \ a)\) (то есть заменить все иксы в функции на выражения \(x\ \pm \ a\)), тогда функцию f(x) будет двигаться вдоль оси Оx.

– Если нужно построить \(f(x\ + \ a)\), то функция сдвинется влево по оси Ох на a единичных отрезков.

– Если нужно построить \(f(x\ –\ a),\) то функция сдвинется вправо по оси Ох на a единичных отрезков.

Например:

Функция \(y = {(x + 6)}^{2}\) будет находиться на 6 единичных отрезков левее, чем функций \(y = x^{2}\), а функция \(y = {(x\ –\ 2)}^{2}\) правее на 2 единичных отрезка:

ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если мы знаем функцию \(f(x),\) а нам нужно построить функцию \(f(x)\ \pm \ a\ \)(то есть прибавить к получившимся значениям функции \(\pm\) a), тогда f(x) будет двигаться по оси Оу.

– Если нужно построить \(f(x)\ + \ a\), то функция поднимется на a единичных отрезков вверх.

– Если нужно построить \(f(x)\ –\ a\), то функция опуститься на a единичных отрезков вниз.

Например:

Функция \(y = \frac{1}{x} + 5\) будет выше функции \(y = \frac{1}{x}\) на 5 единичных отрезков, а функция \(\frac{1}{x}\ –\ 4\) ниже на 4 единичных отрезка:

ПРОИЗВЕДЕНИЕ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если мы знаем функцию \(f(x),\) а нам нужно построить функцию \(f(\text{ax})\ \)(то есть заменяем все иксы на выражение ax), тогда функция \(f(x)\) будет «сжиматься» и «растягиваться» вдоль оси Ох. При этом точки пересечения графика с осью Оу не изменяться.

– Если \(a > 1\), то абсцисса каждой точки уменьшится в a раз. График «сожмется» к оси Оу

– Если \(0 < a < 1,\) то абсцисса каждой точки увеличится в a раз. График «растянется» от оси Оу.

Например:

Функция \(y = {(3x)}^{3}\) будет сжата в 3 раза относительно графика функции \(y = x^{3}\) а функция \(y = {(\frac{1}{2}x)}^{3}\) будет сжата в 2 раза:

ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если мы знаем функцию \(f(x),\ \)а нам нужно построить функцию \(\text{af}(x)\) (то есть умножить получившиеся значения функции на a), тогда функция \(f(x)\) будет «сжиматься» и «растягиваться» вдоль оси Оу. При этом точки пересечения графика с осью Ох не изменяться.

– Если \(a > 1,\) то ордината каждой точки уменьшится в a раз. График «сожмется» к оси Ох

– Если \(0 < a < 1\), то ордината каждой точки увеличится в a раз. График «растянется» от оси Ох.

Например:

Функция \(y = 2x^{2}\) будет сжата в 2 раза относительно функции

\(y = x^{2}\), а функция \(y = \frac{1}{2}x^{2}\) растянута в 2 раза:

МОДУЛЬ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если мы знаем функцию \(f(x),\) а нам нужно построить график функции \(f(|x|)\) (то есть заменяем все иксы на модуль икс), тогда график в области с отрицательными абсциссами стирается, а график в области с положительными абсциссами отражается относительно оси Оу. Функция становится четной.

Например:

ИЗЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если мы знаем функцию \(f(x),\) а нам нужно построить график функции \(|f\left( x \right)|\) (то есть берем под модуль значение функции). Тогда график в области с отрицательными ординатами отражается относительно оси Ох.

Например: