Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Симметрия Прямоугольник Ромб Метод координат на плоскости Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Прямые и углы на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Виды треугольников Высота Подобие фигур Равенство фигур Медиана Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Векторы Серединный перпендикуляр Квадрат Средняя линия Движения Четыре замечательные точки треугольника
Реальная математика
Метод математической индукции Вероятность Множества Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Прикладные задачи Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности
Стереометрия
Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Параллельность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Призмы Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды
Уравнения
Методы решения уравнений Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Линейные уравнения Показательные уравнения
Анализ функций
Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Смысл производной
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства

Логарифмические уравнения

Логарифм числа b по основанию a (\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\mathbf{= c}\)) – это такой показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (то есть \(a^{c}\) = b).


При этом задаются ограничения:

\(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\).

Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Для решения логарифмических уравнений нужно:

1. Прописывать ОДЗ.
2. Следовать алгоритму решения.
3. Знать свойства логарифмов.

Рассмотрим каждый пункт подробнее.

ОДЗ:

Область допустимых значений для логарифма вида \(\log_{a}b = c\) записываются как:

\(\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

ОДЗ пишем на функции в ИСХОДНОМ уравнении!

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

Главная цель (после цели получить ответ) при решении – избавиться от логарифмов, отсюда исходят две различные ситуации. Первая: логарифм только с одной стороны. Вторая: логарифмы с обеих сторон.

Первый способ решения: по определению

\(\text{lo}g_{a}b = c\)

\(b = a^{c}\)

Второй метод решения: потенцирование

\(\text{lo}g_{a}f\left( x \right) = log_{a}g\left( x \right)\)

\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений двумя алгоритмами.

Пример №1:

Решите уравнение:

\(\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4\)

1. Сначала нужно прописать ОДЗ:

\(\left( - x^{2} - 8x \right) > 0\)

2. Выразим из этого неравенства x:

\(- x^{2} - 8x > 0\)

\(x\left( x + 8 \right) < 0\)

ОДЗ: \(x \in ( - 8;0)\)

3. Воспользуемся определением логарифма и решим получившееся уравнение:

\(\log_{2}\left( - x^{2} - 8x \right) = 4\)

\(- x^{2} - 8x = 2^{4}\ | \cdot ( - 1)\)

\(x^{2} + 8x + 16 = 0\)

\(\left( x + 4 \right)^{2} = 0\)

\(x = - 4\)

Ответ: \(- 4.\)

Пример №2:

Решите уравнение:

\(\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}\)

1. Снова начинаем с ОДЗ. Здесь нужно соблюдать ограничения уже для двух логарифмов:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x^{2} + 11x > 0 \\ \text{\ \ } \\ 3x + 9 > 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ } \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x(x + 11) > 0 \\ \text{\ \ } \\ x + 3 > 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ x < - 11 \\ \ \ x > 0 \\ x > - 3\ \\ \end{matrix}\ \Longrightarrow x \in (0; + \infty) \right.\ \)

2. Потенцируем уравнение:

\(\log_{7}\left( x^{2} + 11x \right) = \log_{7}{(3x + 9)}\)

\(x^{2} + 11x = 3x + 9\)

\(x^{2} + 8x - 9 = 0\)

По теореме Виета:

Ответ: 1.