Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Планиметрия
Параллелограммы Скалярное произведение векторов Прямоугольник Комбинации с окружностью Виды треугольников Элементы планиметрии Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Серединный перпендикуляр Высота Площади четырёхугольников Медиана Треугольники. Площади Симметрия Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Средняя линия Трапеция Многоугольники Движения Подобие фигур Отношения в геометрии Ромб Прямые и углы на плоскости Биссектриса Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Равенство фигур
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Множества Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Метод математической индукции Комбинаторика Сложные проценты Прикладные задачи
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Тела вращения Призмы
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Квадратные уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах Показательные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Смысл производной Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции

Первообразная

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции \(f\) — это функция, от которой взяли производную и получили \(f\).

Например:

Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

Функция F(x) = х³ + 6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х² + 5, F(x) = х² + 17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

Геометрический смысл первообразной

Пусть имеется график функции \(f\left( x \right)\text{.\ }\) На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком \(f\left( x \right).\) Требуется найти площадь, ограниченную графиком \(f\left( x \right),\) осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\).

\(S = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\ dx = F\left( b \right) - F\left( a \right),\ \ }\)где F — первообразная f(x).

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной \(f\left( x \right)\) (то есть \(F\left( x \right)\)), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

  1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке — F(b).

  2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

  3. Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

\(S = F\left( b \right) - F(a)\)