Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Подобие фигур Движения Комбинации с окружностью Скалярное произведение векторов Средняя линия Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Прямоугольник Квадрат Теорема Менелая и теорема Чевы Площади четырёхугольников Равенство фигур Элементы планиметрии Медиана Четыре замечательные точки треугольника Трапеция Виды треугольников Треугольники. Площади Ромб Высота Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Многоугольники
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Множества Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Сложные проценты
Стереометрия
Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Призмы Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Векторы в пространстве Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Движения в пространстве Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения в целых числах Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Однородные уравнения
Анализ функций
Графическое применение производной Преобразование графиков функции Интеграл Экстремумы Правила дифференцирования Смысл производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Первообразная

Первообразная

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции \(f\) — это функция, от которой взяли производную и получили \(f\).

Например:

Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

Функция F(x) = х³ + 6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х² + 5, F(x) = х² + 17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

Геометрический смысл первообразной

Пусть имеется график функции \(f\left( x \right)\text{.\ }\) На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком \(f\left( x \right).\) Требуется найти площадь, ограниченную графиком \(f\left( x \right),\) осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\).

\(S = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\ dx = F\left( b \right) - F\left( a \right),\ \ }\)где F — первообразная f(x).

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной \(f\left( x \right)\) (то есть \(F\left( x \right)\)), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

  1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке — F(b).

  2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

  3. Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

\(S = F\left( b \right) - F(a)\)