Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Смысл производной Свойства функций Правила дифференцирования Графическое применение производной Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы Первообразная Преобразование графиков функции
Неравенства
Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Медиана Квадрат Средняя линия Теорема Менелая и теорема Чевы Отношения в геометрии Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Пифагора Скалярное произведение векторов Прямоугольник Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Векторы Виды треугольников Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Площади четырёхугольников Многоугольники Параллелограммы Биссектриса Движения Равенство фигур Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Высота Трапеция Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Комбинации с окружностью Прямые и углы на плоскости
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по воде Прикладные задачи Метод математической индукции Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Множества Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Диаграммы, графики и таблицы
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Движения в пространстве Двугранный угол Пирамиды Призмы Расстояние от прямой до плоскости Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Однородные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения высших степеней Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Логарифмические уравнения

Интеграл

Интеграл – это одно из важнейших понятий в математическом анализе. В общем смысле

Интеграл – это сумма всех первообразных функции.

Существуют разные интегралы, которые применяются для вычисления площадей фигур и объёмов тел. В рамках школьного курса начала математического анализа изучают определенный интеграл, он равен площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапеция – это трапеция на координатной плоскости, с вертикальными основаниями \(x = a\) и \(x = b\) (где \(a\) и \(b\) – границы интегрирования), ограниченной сверху графиком функции \(y = f(x)\).

\(S\left( x \right)\) – площадь криволинейной трапеции

Определённый интеграл – это разность первообразных непрерывной неотрицательной функции в крайних точках заданного отрезка.

\(S\left( x \right) = \int_{a}^{b}{f(x)}\text{dx} = F\left( b \right) - F(a)\)

Интеграл называется определенным, потому что мы знаем, на каком промежутке \(\left\lbrack a;b \right\rbrack\) нужно находить первообразные.

Запись интеграла читается как «интеграл функции \(f(x)\) от \(a\) до \(b\)». Буквосочетание \(\text{dx}\) говорит о том, что функция дифференцирована (т. е. является производной от искомой первообразной) относительно переменной \(x\). Так как в высшей математике функции могут состоять из нескольких переменных, необходимо указывать, относительно какой именно переменной находилась производная

\(F^{'}\left( x \right) = f(x) \Longrightarrow \int_{}^{}{f(x)}\text{dx}\)

Пример №1:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

на промежутке \(\left\lbrack 1;4 \right\rbrack\).

  1. Площадь фигуры под функцией равна определенному интегралу, взятому на данной промежутке. Запишем этот интеграл:

\(S\left( x \right) = \int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}\text{dx}\)

  1. Чтобы вычислить этот интеграл, нужно найти общую первообразную для данной функции, а потом найти ее значения в крайних точках промежутка. Первообразной от \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\) является:

\(F\left( x \right) = 3\sqrt{x}\)

Когда после записи интеграла вы нашли общую первообразную, запись интеграла упрощается: справа от первообразной за вертикальной чертой обозначаются промежутки интегрирования снизу вверх, а \(\text{dx}\) больше не пишется:

\(\int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}dx = \left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1}\)

  1. Теперь нужно подставить в первообразную \(x = 4\) и \(x = 1\), между получившимися значениями будет знак «минус»:

\(\left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1} = 3\sqrt{4} - 3\sqrt{1}\)

  1. Мы пришли к разнице первообразных. Осталось посчитать результат и записать ответ:

\(3\sqrt{4} - 3\sqrt{1} = 6 - 3 = 3\)

Ответ: 3.

Пример №2:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = 6 + 2x - x^{2}\)

на промежутке \(\left\lbrack - 2;1 \right\rbrack\).

  1. Запишем определенный интеграл:

\(\int_{- 2}^{1}{(6 + 2x - x^{2})}\text{dx}\)

  1. У нас есть несколько слагаемых в функции. По правилам работы с первообразными их общей перообразной будет сумма их первообразных:

\(F\left( x \right) = 6x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\)

  1. Подставим первообразную в формулу интеграла:

\(\int_{- 2}^{1}\left( 6 + 2x - x^{2} \right)dx = 6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2}\)

  1. Посчитаем первообразные в крайних точках интегрирования и найдем площадь под функцией:

\(6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2} = \left( 6 \bullet \left( - 2 \right) + \left( - 2 \right)^{2} - \frac{\left( - 2 \right)^{3}}{3} \right) - \left( 6 + 1 - \frac{1}{3} \right) = - 12 + 4 - \frac{8}{3} - 7 + \frac{1}{3} = - 15\frac{7}{3}\)

Ответ:\(\ - 15\frac{7}{3}\)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграла и площадь под графиком функций связаны между собой через понятие приращения, как, например, связана производная и угол наклона касательной. Дело в том, что если мы поделим координатную плоскость под графиком бесконечным количеством вертикальных прямых, расстояние между которыми будет равно \(\Delta x\), при этом \(\Delta x \longrightarrow 0\), тогда мы увидим, что вся площадь под графиком поделилась на бесконечное множество очень-очень узких прямоугольников, с одинаковой шириной \(\Delta x\), но разной высотой.

Две верхние вершины такого прямоугольника будут находиться настолько близко, что сойдутся почти в одной точке. Первообразная функции в этой точке будет равна площади этого прямоугольника. А если мы сложим все такие прямоугольники под функцией, как раз найдем площадь криволинейной трапеции.