Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Теорема Пифагора Движения Прямоугольник Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Элементы планиметрии Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Прямые и углы на плоскости Подобие фигур Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Средняя линия Трапеция Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Медиана Векторы Виды треугольников Скалярное произведение векторов Симметрия Ромб Комбинации с окружностью Высота Биссектриса
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Основы комбинаторики Вероятность
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Двугранный угол Сечения в телах вращения Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Сечения в многогранниках Угол между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве
Уравнения
Линейные уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах Показательные уравнения Логарифмические уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Уравнения с модулем
Анализ функций
Свойства функций Первообразная Преобразование графиков функции Экстремумы Правила дифференцирования Графическое применение производной Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства

Интеграл

Интеграл – это одно из важнейших понятий в математическом анализе. В общем смысле

Интеграл – это сумма всех первообразных функции.

Существуют разные интегралы, которые применяются для вычисления площадей фигур и объёмов тел. В рамках школьного курса начала математического анализа изучают определенный интеграл, он равен площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапеция – это трапеция на координатной плоскости, с вертикальными основаниями \(x = a\) и \(x = b\) (где \(a\) и \(b\) – границы интегрирования), ограниченной сверху графиком функции \(y = f(x)\).

\(S\left( x \right)\) – площадь криволинейной трапеции

Определённый интеграл – это разность первообразных непрерывной неотрицательной функции в крайних точках заданного отрезка.

\(S\left( x \right) = \int_{a}^{b}{f(x)}\text{dx} = F\left( b \right) - F(a)\)

Интеграл называется определенным, потому что мы знаем, на каком промежутке \(\left\lbrack a;b \right\rbrack\) нужно находить первообразные.

Запись интеграла читается как «интеграл функции \(f(x)\) от \(a\) до \(b\)». Буквосочетание \(\text{dx}\) говорит о том, что функция дифференцирована (т. е. является производной от искомой первообразной) относительно переменной \(x\). Так как в высшей математике функции могут состоять из нескольких переменных, необходимо указывать, относительно какой именно переменной находилась производная

\(F^{'}\left( x \right) = f(x) \Longrightarrow \int_{}^{}{f(x)}\text{dx}\)

Пример №1:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

на промежутке \(\left\lbrack 1;4 \right\rbrack\).

  1. Площадь фигуры под функцией равна определенному интегралу, взятому на данной промежутке. Запишем этот интеграл:

\(S\left( x \right) = \int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}\text{dx}\)

  1. Чтобы вычислить этот интеграл, нужно найти общую первообразную для данной функции, а потом найти ее значения в крайних точках промежутка. Первообразной от \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\) является:

\(F\left( x \right) = 3\sqrt{x}\)

Когда после записи интеграла вы нашли общую первообразную, запись интеграла упрощается: справа от первообразной за вертикальной чертой обозначаются промежутки интегрирования снизу вверх, а \(\text{dx}\) больше не пишется:

\(\int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}dx = \left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1}\)

  1. Теперь нужно подставить в первообразную \(x = 4\) и \(x = 1\), между получившимися значениями будет знак «минус»:

\(\left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1} = 3\sqrt{4} - 3\sqrt{1}\)

  1. Мы пришли к разнице первообразных. Осталось посчитать результат и записать ответ:

\(3\sqrt{4} - 3\sqrt{1} = 6 - 3 = 3\)

Ответ: 3.

Пример №2:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = 6 + 2x - x^{2}\)

на промежутке \(\left\lbrack - 2;1 \right\rbrack\).

  1. Запишем определенный интеграл:

\(\int_{- 2}^{1}{(6 + 2x - x^{2})}\text{dx}\)

  1. У нас есть несколько слагаемых в функции. По правилам работы с первообразными их общей перообразной будет сумма их первообразных:

\(F\left( x \right) = 6x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\)

  1. Подставим первообразную в формулу интеграла:

\(\int_{- 2}^{1}\left( 6 + 2x - x^{2} \right)dx = 6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2}\)

  1. Посчитаем первообразные в крайних точках интегрирования и найдем площадь под функцией:

\(6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2} = \left( 6 \bullet \left( - 2 \right) + \left( - 2 \right)^{2} - \frac{\left( - 2 \right)^{3}}{3} \right) - \left( 6 + 1 - \frac{1}{3} \right) = - 12 + 4 - \frac{8}{3} - 7 + \frac{1}{3} = - 15\frac{7}{3}\)

Ответ:\(\ - 15\frac{7}{3}\)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграла и площадь под графиком функций связаны между собой через понятие приращения, как, например, связана производная и угол наклона касательной. Дело в том, что если мы поделим координатную плоскость под графиком бесконечным количеством вертикальных прямых, расстояние между которыми будет равно \(\Delta x\), при этом \(\Delta x \longrightarrow 0\), тогда мы увидим, что вся площадь под графиком поделилась на бесконечное множество очень-очень узких прямоугольников, с одинаковой шириной \(\Delta x\), но разной высотой.

Две верхние вершины такого прямоугольника будут находиться настолько близко, что сойдутся почти в одной точке. Первообразная функции в этой точке будет равна площади этого прямоугольника. А если мы сложим все такие прямоугольники под функцией, как раз найдем площадь криволинейной трапеции.