Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Однородные уравнения Уравнения с модулем Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Линейные уравнения
Анализ функций
Интеграл Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Свойства функций Экстремумы
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Векторы Равенство фигур Метод координат на плоскости Трапеция Параллелограммы Средняя линия Подобие фигур Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Движения Площади четырёхугольников Прямоугольник Ромб Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Многоугольники Треугольники. Площади Биссектриса Отношения в геометрии Медиана Симметрия Четыре замечательные точки треугольника Окружнoсть и круг Квадрат Высота
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на производительность Множества Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Векторы в пространстве Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Сечения в телах вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве

Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Логарифм числа b по основанию a (\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\mathbf{= c}\)) – это такой показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (то есть ac = b).

При этом задаются ограничения: \(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\). Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Пример №1:

Вычислите: \(\log_{3}27\), \(\log_{\frac{1}{3}}27\).

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27:

\(\log_{3}27 = 3\)

2. При возведении \(\frac{1}{3}\) в –3 степень получим 27, значит:

\(\log_{\frac{1}{3}}27 = \ –3\)

Ответ: 3; -3.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА:

  1. Логарифм 1 по любому основанию равен 0.

\(\log_{a}1 = 0\)

  1. Логарифм числа по равному себе основанию равен 1.

\(\log_{a}a = 1\)

  1. Основное логарифмическое тождество. При возведении основания в степень логарифма получается логарифмическое выражение. \(Место\ для\ уравнения.\)

\(a^{\log_{a}b} = b\)

  1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

\(\log_{a}\text{bc} = \log_{a}b + \log_{a}c\)

  1. Логарифм частного равен разности логарифмов.

\(\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b\ –\ \log_{a}c\)

  1. Показатель степени можно выносить из логарифмического выражения за знак логарифма.

\(\log_{a}b^{m} = m\log_{a}b\)

  1. Показатель степени можно выносить из основания логарифма за знак логарифма, возводя его в –1 степень.

\(\log_{a^{n}}b = \frac{1}{n}\log_{a}b\)

  1. Можно представить логарифм в виде частного логарифма с новым основанием.

\(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

  1. Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, то получится логарифм, обратный исходному.

\(\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЕ ЛОГАРИФМА

  1. Логарифм по основанию 10 записывается

как \(\lg\): \(\log_{10}a = lga\)

  1. Логарифм по основанию e (\(e \approx 2,72\)) записывается

как \(\ln\): \(\log_{e}a = lna\)

Используем рассмотренные свойства для решения задачи.

Пример №2:

Вычислите \(\log_{5}3125\).

1. Представим 3125 как 5 в некоторой степени:

\(3125 = 5^{5}\)

2. Вынесем степень из-под знака логарифма (по свойству из п. 6):

\(\log_{5}3125 = \log_{5}5^{5} = {5\text{\ log}_{5}}5\)

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1 (по п. 1):

\(5\ \log_{5}5 = 5\)

Ответ: 5.

Пример №3:

Вычислите \(5^{2 + \log_{5}3}\).

1. Воспользуемся свойством степеней:

\(5^{2 + \log_{5}3} = 5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }}\)

2. Используем основное логарифмическое тождество (п.3):

\(5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }} = 25 \cdot 3 = 75\)

Ответ: 75.

Пример №4:

Вычислите \(\lg 125 + \lg 8\).

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов (п. 4):

\(\lg 125 + \lg 8 = \lg 1000\)

2. Представим \(1000 = 10^{3}\) и вынесем 3 за знак логарифма:

\(\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\ \lg 10\)

3. Воспользуемся тем, что \(\lg 10 = 1\).

Ответ: 3.

Пример №5:

Вычислите \(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3}\).

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов (п. 4):

\(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{2\lg 2 + \lg 3}\)

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма (п.6):

\(2\lg 2 = \lg 2^{2} = \lg 4\)

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя (п. 4):

\(\frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 12}\)

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12 (п.8):

\(\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12}144\)

5. Представим \(144 = 12^{2}\), вынесем степень за знак логарифма (п. 6) и воспользуемся соотношением \(\log_{12}12 = 1\) (п. 2):

\(\log_{12}144 = \log_{12}12^{2} = 2\log_{12}12 = 2\)

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами могут встречаться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример №6:

Вычислите \(\log_{125}\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}}\).

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

\(\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}} = a^{2 + 1 - 3} = a^{0} = 1\)

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0 (п. 1):

\(\log_{125}1 = 0\)

Ответ: 0.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

Логарифмическая функция – это функция вида \(y = \log_{a}x\), где \(a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0\).

– При \(a > 1\) логарифмическая функция монотонно возрастает:

На данном графике \(a = 2.\)

– При\(\ 0 < a < 1\) логарифмическая функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y) = (0; + \infty)\)
2. Область значения: \(E(y\mathbb{) = R}\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена слева
4. Монотонность:

Возрастает при

\(a\ > \ 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
5. Четность: Ни четная, ни нечетная
6. Периодичность: Не периодичная
7. Пересекает ось Ох в точке (1; 0)
8. Пересекает ось Оу Не пересекает ось