Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней
Планиметрия
Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Треугольники. Площади Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Движения Трапеция Векторы Отношения в геометрии Элементы планиметрии Симметрия Квадрат Скалярное произведение векторов Многоугольники Прямоугольник Средняя линия Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Метод координат на плоскости Виды треугольников Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Высота Подобие фигур Равенство фигур Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Ромб
Реальная математика
Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на проценты Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность
Стереометрия
Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Двугранный угол Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Призмы Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями
Уравнения
Уравнения в целых числах Показательные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Однородные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения
Анализ функций
Графическое применение производной Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Первообразная Смысл производной Преобразование графиков функции Экстремумы Правила дифференцирования

Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Логарифм числа b по основанию a (\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\mathbf{= c}\)) – это такой показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (то есть ac = b).

При этом задаются ограничения: \(a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0\). Значение 𝑐 логарифма может быть любым.

Пример №1:

Вычислите: \(\log_{3}27\), \(\log_{\frac{1}{3}}27\).

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27:

\(\log_{3}27 = 3\)

2. При возведении \(\frac{1}{3}\) в –3 степень получим 27, значит:

\(\log_{\frac{1}{3}}27 = \ –3\)

Ответ: 3; -3.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА:

  1. Логарифм 1 по любому основанию равен 0.

\(\log_{a}1 = 0\)

  1. Логарифм числа по равному себе основанию равен 1.

\(\log_{a}a = 1\)

  1. Основное логарифмическое тождество. При возведении основания в степень логарифма получается логарифмическое выражение. \(Место\ для\ уравнения.\)

\(a^{\log_{a}b} = b\)

  1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

\(\log_{a}\text{bc} = \log_{a}b + \log_{a}c\)

  1. Логарифм частного равен разности логарифмов.

\(\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b\ –\ \log_{a}c\)

  1. Показатель степени можно выносить из логарифмического выражения за знак логарифма.

\(\log_{a}b^{m} = m\log_{a}b\)

  1. Показатель степени можно выносить из основания логарифма за знак логарифма, возводя его в –1 степень.

\(\log_{a^{n}}b = \frac{1}{n}\log_{a}b\)

  1. Можно представить логарифм в виде частного логарифма с новым основанием.

\(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

  1. Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, то получится логарифм, обратный исходному.

\(\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЕ ЛОГАРИФМА

  1. Логарифм по основанию 10 записывается

как \(\lg\): \(\log_{10}a = lga\)

  1. Логарифм по основанию e (\(e \approx 2,72\)) записывается

как \(\ln\): \(\log_{e}a = lna\)

Используем рассмотренные свойства для решения задачи.

Пример №2:

Вычислите \(\log_{5}3125\).

1. Представим 3125 как 5 в некоторой степени:

\(3125 = 5^{5}\)

2. Вынесем степень из-под знака логарифма (по свойству из п. 6):

\(\log_{5}3125 = \log_{5}5^{5} = {5\text{\ log}_{5}}5\)

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1 (по п. 1):

\(5\ \log_{5}5 = 5\)

Ответ: 5.

Пример №3:

Вычислите \(5^{2 + \log_{5}3}\).

1. Воспользуемся свойством степеней:

\(5^{2 + \log_{5}3} = 5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }}\)

2. Используем основное логарифмическое тождество (п.3):

\(5^{2} \cdot 5^{\log_{5}{3\ }} = 25 \cdot 3 = 75\)

Ответ: 75.

Пример №4:

Вычислите \(\lg 125 + \lg 8\).

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов (п. 4):

\(\lg 125 + \lg 8 = \lg 1000\)

2. Представим \(1000 = 10^{3}\) и вынесем 3 за знак логарифма:

\(\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\ \lg 10\)

3. Воспользуемся тем, что \(\lg 10 = 1\).

Ответ: 3.

Пример №5:

Вычислите \(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3}\).

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов (п. 4):

\(\frac{\lg 8 + \lg 18}{{2lg}2 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{2\lg 2 + \lg 3}\)

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма (п.6):

\(2\lg 2 = \lg 2^{2} = \lg 4\)

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя (п. 4):

\(\frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 12}\)

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12 (п.8):

\(\frac{\lg 144}{\lg 12} = \log_{12}144\)

5. Представим \(144 = 12^{2}\), вынесем степень за знак логарифма (п. 6) и воспользуемся соотношением \(\log_{12}12 = 1\) (п. 2):

\(\log_{12}144 = \log_{12}12^{2} = 2\log_{12}12 = 2\)

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами могут встречаться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример №6:

Вычислите \(\log_{125}\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}}\).

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

\(\frac{a^{2} \cdot a}{a^{3}} = a^{2 + 1 - 3} = a^{0} = 1\)

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0 (п. 1):

\(\log_{125}1 = 0\)

Ответ: 0.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

Логарифмическая функция – это функция вида \(y = \log_{a}x\), где \(a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0\).

– При \(a > 1\) логарифмическая функция монотонно возрастает:

На данном графике \(a = 2.\)

– При\(\ 0 < a < 1\) логарифмическая функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y) = (0; + \infty)\)
2. Область значения: \(E(y\mathbb{) = R}\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена слева
4. Монотонность:

Возрастает при

\(a\ > \ 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
5. Четность: Ни четная, ни нечетная
6. Периодичность: Не периодичная
7. Пересекает ось Ох в точке (1; 0)
8. Пересекает ось Оу Не пересекает ось