Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Экстремумы Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций Преобразование графиков функции Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Высота Средняя линия Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Медиана Треугольники. Площади Прямоугольник Комбинации с окружностью Биссектриса Площадь круга и сектора круга Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Прямые и углы на плоскости Подобие фигур Теорема Пифагора Трапеция Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Равенство фигур Многоугольники Параллелограммы Отношения в геометрии Серединный перпендикуляр Виды треугольников Ромб Движения Векторы Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике
Реальная математика
Прикладные задачи Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по прямой Множества Метод математической индукции
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Движения в пространстве Пирамиды Сечения в многогранниках Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Двугранный угол Призмы Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости
Уравнения
Методы решения уравнений Линейные уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя \(n\) раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

  1. Любое число в нулевой степени равно единице.

\(a^{0} = 1\)

  1. Любое число в первой степени равно самому себе.

\(a^{1} = a\)

  1. Единица в любой степени равна единице.

\(1^{n} = 1\)

  1. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

\(a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}\)

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

\(\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}\)

  1. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

\({{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}\)

  1. Степень произведения равна произведению степеней

\(\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}\)

  1. Степень частного равна частному степеней.

\(\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)

  1. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

\(a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}\)

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример №1:

\(\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9\)

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

Пример №2:

\(\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8\)

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

Пример №3:

\(\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4\)

Для удобства представим \(1 = 1^{- 2}\) (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

Пример №4:

\(\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\ \)

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).