Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Реальная математика
Вероятность Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Множества Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси
Стереометрия
Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды Призмы Векторы в пространстве Движения в пространстве Двугранный угол Сечения в многогранниках
Уравнения
Однородные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Квадратные уравнения
Анализ функций
Экстремумы Правила дифференцирования Графики тригонометрических функций Свойства функций Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени
Планиметрия
Трапеция Виды треугольников Скалярное произведение векторов Многоугольники Движения Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Медиана Равенство фигур Ромб Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Прямоугольник Квадрат Комбинации с окружностью Высота Векторы Метод координат на плоскости Теорема Пифагора Серединный перпендикуляр Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Симметрия Подобие фигур Площади четырёхугольников

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Элементы геометрии перпендикулярны, если они пересекаются под углом в 90°.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Перпендикулярные прямые – это прямые, которые пересекаются под углом в 90°.

\(a\bot b\)

Лемма о параллельных прямых, перпендикулярных третьей:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая ей перпендикулярна.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a\bot c} \right\} \Longrightarrow b\bot c\)

ПРЯМАЯ, ПЕРПЕДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Прямую называют перпендикулярной плоскости, когда прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярность прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярная плоскости, когда она перпендикулярна двум пересекающимся на этой плоскости прямым:

\(\left. \ \frac{b,c \in \alpha}{\begin{matrix} b \cap c \\ a\bot b,c \\ \end{matrix}} \right\} \Longrightarrow a\bot\alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, при том только одну.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая тоже ей перпендикулярна.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a\bot\alpha} \right\} \Longrightarrow b\bot\alpha\)

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Перпендикулярные плоскости – это плоскости, между которыми двугранный угол равен 90°.

Признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

\(\left. \ \frac{a \in \alpha}{a\bot\beta} \right\} \Longrightarrow \alpha\bot\beta\)