Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения
Анализ функций
Графическое применение производной Свойства функций Экстремумы Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Первообразная
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Трапеция Равенство фигур Симметрия Высота Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Теорема Пифагора Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Ромб Серединный перпендикуляр Комбинации с окружностью Теорема Менелая и теорема Чевы Отношения в геометрии Элементы планиметрии Подобие фигур Биссектриса Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Средняя линия Движения Векторы Медиана Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Виды треугольников Метод координат на плоскости
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Множества Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Прикладные задачи Основы комбинаторики
Стереометрия
Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды Призмы Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Двугранный угол

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Элементы геометрии перпендикулярны, если они пересекаются под углом в 90°.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Перпендикулярные прямые – это прямые, которые пересекаются под углом в 90°.

\(a\bot b\)

Лемма о параллельных прямых, перпендикулярных третьей:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая ей перпендикулярна.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a\bot c} \right\} \Longrightarrow b\bot c\)

ПРЯМАЯ, ПЕРПЕДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Прямую называют перпендикулярной плоскости, когда прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярность прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярная плоскости, когда она перпендикулярна двум пересекающимся на этой плоскости прямым:

\(\left. \ \frac{b,c \in \alpha}{\begin{matrix} b \cap c \\ a\bot b,c \\ \end{matrix}} \right\} \Longrightarrow a\bot\alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, при том только одну.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая тоже ей перпендикулярна.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a\bot\alpha} \right\} \Longrightarrow b\bot\alpha\)

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Перпендикулярные плоскости – это плоскости, между которыми двугранный угол равен 90°.

Признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

\(\left. \ \frac{a \in \alpha}{a\bot\beta} \right\} \Longrightarrow \alpha\bot\beta\)