Элементы и аксиомы стереометрии

ОБОЗНАЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Обозначается плоскость строчной греческой буквой \((\alpha,\ \beta)\) и чертится как параллелограмм или произвольная область. Так мы обозначаем ограниченную плоскость, хотя плоскость, как и прямая – бесконечно продолжается во все стороны:

• Если точка или прямая лежит на плоскости, то пишут \(А \in \alpha\), \(b \in \alpha\) и говорят, что точка А и прямая b принадлежит плоскости α.
• Если точка или прямая не лежит на плоскости, то пишут \(A \notin \beta,\ b \notin \beta\):

Если две прямые не лежат в одной плоскости и не параллельны, тогда эти прямые называются скрещивающимися. Таким образом для скрещивающихся прямых не существует плоскости, которая их содержит.

Можно представить скрещивающиеся прямые, если представить две плоскости – одну над другой – и на каждой из них будут лежать прямые, которые между собой не параллельны.

Например: a и b – скрещивающиеся прямые:

a \(∸\) b – скрещивающиеся прямые

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Существует множество аксиом стереометрии, которые описывают фундаментальные принципы расположения элементов геометрии в пространстве, но самыми основными из них считаются три аксиомы стереометрии. Благодаря ним можно вывести несколько следствий и уже вместе с аксиомами они дают хорошую основу для изучения стереометрии.

АКСИОМА 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и при том только одну.

Можно легко проверить эту аксиому. Из планиметрии мы знаем, что любой треугольник – это плоская фигура и через вершины любого треугольника можно провести плоскость так, чтобы все они лежали в одной плоскости. Если рассматривать уже четыре точки. То по аксиоме 1 три из них всегда образуют плоскость, но вот четвертая может как лежать в плоскости, так и не лежать в ней:

\({\text{ABC}\ \in \ \alpha }{D\ \notin \ \alpha}\)

Мы знаем, что через две точки пространства можно провести прямую, а через три – плоскость, поэтому плоскость, аналогично прямой, могут обозначать точками, которыми она может быть образована:

\(D\ \notin \ \text{ABC}\ (т.к.\ \text{ABC}\ \in \ \alpha)\)

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМЫ 1

Каждый элемент геометрии (точка, прямая и плоскость) неразрывно связаны друг с другом, поэтому три точки, через которую можно провести плоскость, можно представить как совокупность прямых и точек.

Следствие 1:

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и при том только одну.

Рассмотрим плоскость α. Если точки А, В и С образуют плоскость, то на этой плоскости две точки, например В и С, могут образовать прямую (т.к. через две точки может проходить прямая и при том только одна). Пусть прямая В, С – это прямая a, тогда нам не хватает всего одной точки, не лежащей на этой прямой, чтобы образовать плоскость:

\(\left. \ \frac{B,\ C \in a}{A \notin a} \right\} \Longrightarrow a,\ A \in \alpha\)

Следствие 2:

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Рассмотрим ту же плоскость. Если В и С уже принадлежат прямой a, то представим прямую b, которая пересекает её в точек В. Опять же, для образования прямой b необходимо две точки одна (точка В) у нас уже есть, тогда пусть второй такой точкой будет точка А. Получается, что a и b пересекаются в точке В, при этом на каждой и прямой есть еще как минимум по одной точки (А и С), таким образом у нас есть три точки, которые и образуют плоскость:

\(a \cap b = B \Longrightarrow a,\ b \in \alpha\)

Следствие 3:

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Аналогично предыдущим двум следствиям рассмотрим две параллельные прямые как совокупность точек. Если на одной прямой есть как минимум две точки, то на второй прямой будет лежать третья точка, не лежащая на первой прямой. Таким образом у нас три точки, не лежащие на одной прямой, и по аксиоме 1 они могут образовать плоскость:

\(a \parallel b \Longrightarrow a,b \in \alpha\)

АКСИОМА 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Если две точки лежат на плоскости, то через них можно провести прямую, при том только одну. Таким образом все точки этой прямой будут лежать в одной плоскости с исходными точками.

\(\left. \ \frac{А \in \alpha}{В \in \alpha} \right\} \Longrightarrow AВ \in \alpha\)

АКСИОМА 3

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Можно представить эту аксиому как пересечение двух листков бумаги. Мы никогда не сможем пересечь их так, чтобы они пересекались только в одной точке, т.к. любая плоскость бесконечно продолжается во все стороны. Таким образом плоскости пересекаются по прямой:

\(\alpha \cap \beta = a\)