Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Равенство фигур Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Движения Виды треугольников Параллелограммы Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Площадь круга и сектора круга Медиана Комбинации с окружностью Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Высота Средняя линия Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Многоугольники Прямоугольник Серединный перпендикуляр Квадрат Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Трапеция Векторы Элементы планиметрии Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Множества Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы
Стереометрия
Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Движения в пространстве Пирамиды Призмы Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Однородные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения
Анализ функций
Свойства функций Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Смысл производной
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

\(\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k\) , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}\)

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

\(\frac{А}{В} = \frac{a}{b}\) или \(\frac{H}{C} = \frac{h}{c}\)

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC\)

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

\(\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\ \)

3. По трем пропорциональным сторонам:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}\)

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

  1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).

  2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).

  3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).