Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Виды треугольников Многоугольники Прямоугольник Трапеция Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Симметрия Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Квадрат Подобие фигур Биссектриса Теорема Пифагора Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Ромб Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Высота Средняя линия Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Равенство фигур Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Менелая и теорема Чевы Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Медиана
Реальная математика
Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Метод математической индукции Множества Вероятность Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Движения в пространстве Двугранный угол Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Показательные уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Смысл производной Преобразование графиков функции
Неравенства
Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств

Пирамиды

N-угольная пирамида – это многогранник, образованный n-угольником и точкой, не лежащей в его плоскости, которая соединена с вершинами n-угольника.

Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д., в зависимости от того, какая фигура лежит у пирамиды в основании.

У треугольной пирамиды любая грань может являться основанием, т.к. все ее грани и основания – треугольники:

  • У любой пирамиды столько же вершин, сколько и граней;

  • У пирамиды на одну вершину больше, чем вершин у многоугольника в основании;

  • У пирамиды в два раза больше ребер, чем вершин у многоугольника в основании.

РАЗВЕРТКА ПИРАМИДЫ

Треугольная и четырехугольная пирамиды имеют следующие развертки:

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

Высота пирамиды – это перпендикуляр между вершиной пирамиды и площадью её основания.

Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания (в точку пересечения биссектрис многоугольника в основании).

Все грани правильной пирамиды – равнобедренные треугольники, а все её боковые ребра равны между собой.

Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды. Все апофемы в пирамиде равны.

Усеченная n-угольная пирамида – это пирамида, состоящая из двух n-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, вершины которых попарно соединены ребрами пирамиды.

Многоугольники в основании усеченной пирамиды НЕ равны.

Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Правильная усеченная пирамида – это пирамида, получившаяся в результаты сечения правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

  1. Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей её граней.

В правильной пирамиде она равна полупериметру основания на апофему:

\(S_{бок.} = \frac{1}{2}P_{осн.} \bullet h\)

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равен полу сумме периметров оснований на её апофему:

\(S_{бок} = \frac{P_{1} + P_{2}}{2} \bullet h\)

  1. Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма её площади боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + S_{осн.}\)

  1. Объем пирамиды равен трети произведения площади её основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}S_{осн.} \bullet H\)

Объём усеченной вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3}H(S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1}S_{2}})\)