Расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно построить между ними перпендикуляр, длина которого и будет ему равна. Существует несколько методов построения перпендикуляра между точкой и плоскостью.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТЬ

Самый простой способ – просто провести искомый перпендикуляр. Сложность этого метода в том, что не всегда очевидно, куда именно упадет перпендикуляр. Если это перпендикуляр к плоскости, то по признаку перпендикулярности он должен быть перпендикулярен любой прямой на этой плоскости.

Значит этот перпендикуляр упадет так, что мы сможем доказать его перпендикулярность к плоскости. Точка пересечения перпендикуляра и плоскости будет единственной возможной.

Из точки \(M\), не лежащей в плоскости α, проведем перпендикуляр \(\text{MH}\):

Этот метод стоит применять тогда, когда мы знаем, чему равны две стороны получившегося прямоугольного треугольника \(\text{MHA}\), чтобы иметь возможность найти длину перпендикуляра \(\text{MH}\ \)как третью сторону треугольника.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТИ

Если с построением перпендикуляра из точки возникают трудности, можно использовать этот способ.

Вместо того, чтобы сразу проводить перпендикуляр из точки M, можно провести через неё прямую \(a\), так, что \(a \parallel \alpha\). Таким образом каждая точка на этой прямой будет находиться на равном расстоянии от плоскости, что и точка М. Так мы сможем выбрать более удобную точку, проведя перпендикуляр из которой будет легко доказать, что это действительно перпендикуляр к плоскости.

Снова перпендикулярность прямой к плоскости будет доказываться через признак перпендикулярности.

Например, в данном случае прямая, проведенная через точку K будет падать в точку H – точку пересечения прямых на плоскости, так, что KH перпендикулярна каждой из этих прямых:

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ К ПЛОСКОСТИ

Аналогично можно построить через точку \(M\) плоскость β так, что \(\beta \parallel \alpha\). Тогда любая другая точка на этой плоскости буде находится от плоскости \(\alpha\) на том же расстоянии, что и точка \(M\). Так можно выбрать любую другую удобную точку, например точку \(А\), и найти расстояние от неё до плоскости \(\alpha\).

НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ЧЕРЕЗ ОБЪЕМ

Если в задаче возникают трудности с построением перпендикуляра каким-либо способом выше, то можно решить задачу алгебраически. Самый простой способ найти длину перпендикуляра – представить его как высоту геометрического тела. Тогда, зная его объем, можно будет выразить высоту, а значит найти расстояние от точки до плоскости.

Например:

Дана пирамида \(\text{SABC}\). Отрезок \(\text{SA}\) перпендикулярен плоскости \(\text{ABC}\). Выразите длину от точки \(A\) до плоскости \(\text{SBC}\).

В данной задаче мы не можем построить перпендикуляр ни от точки, ни от прямой, ни от плоскости, т. к. не знаем, куда этот перпендикуляр упадет. Решим задачу через объем пирамиды.

1. Если \(\text{AS}\) перпендикулярна плоскости \(\text{ABC}\), то можем использовать этот отрезок как высоту пирамиды и представить её объем так:

\(V_{\text{SABC}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABC}} \bullet SA\)

2. С другой стороны, можем представить \(\text{AH\ }\)как высоту пирамиды \(\text{ASBC}\) с вершиной \(A\):

\(V_{\text{ASBC}} = \frac{1}{3}S_{\text{SBC}} \bullet AH\)

3. Таким образом можем приравнять два объема, т. к. по сути мы выразили два одинаковых объема по-разному:

\(V_{\text{SABC}} = V_{\text{ASBC}}\)

\(\frac{1}{3}S_{\text{ABC}} \bullet SA = \frac{1}{3}S_{\text{SBC}} \bullet AH\)

\(AH = \frac{S_{\text{ABC}} \bullet SA}{S_{\text{SBC}}}\)