Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Однородные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Свойства функций Экстремумы Графическое применение производной Графики тригонометрических функций
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Равенство фигур Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Ромб Отношения в геометрии Медиана Прямые и углы на плоскости Средняя линия Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Трапеция Векторы Виды треугольников Симметрия Параллелограммы Движения Элементы планиметрии Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямоугольник Комбинации с окружностью Высота Теорема Пифагора Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Прикладные задачи Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Расстояние от точки до плоскости Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Тела вращения Движения в пространстве Пирамиды Призмы Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние между скрещивающимися прямыми

Элементы планиметрии

Точка и прямая — элементы планиметрии, которым трудно дать определение, поэтому их принимают за данность.

Утверждения, которые НЕ требуют доказательств, называются аксиомами.

Утверждения, которые требуют доказательств, называются теоремами.

Аксиома: через любые две точки можно провести прямую, причём только одну.

Обозначения прямой и точки: точка обозначается заглавной латинской буквой (А), прямая – двумя заглавными латинскими буквами (ВС) или маленькой латинской буквой (а).

На данном чертеже мы видим несколько точек: А, В и С. Точки В и С образуют прямую a (по аксиоме №1). Тогда мы говорим, что В и С лежат на прямой a или принадлежат ей. В математике это обозначается как \(В \in а,\ С \in а\) или \(В,С \in а.\) Как мы видим, точка А не лежит на прямой а, тогда А не принадлежит или \(А \notin а\).

ПРЯМАЯ:

Прямая – это линия, которую можно бесконечно долго продлевать в обе стороны. Если мы будем «отрезать» эту линию одной или двумя точками, получим уже другие элементы планиметрии - отрезок и луч.

1. Расположение прямых на плоскости:

- Две прямые могут пересекаться \((а \cap b\)), тогда прямые будут иметь одну общую точку.

- Две прямые могут быть параллельны (\(p\| q\)), тогда прямые не имеют общих точек.

- Две прямые могут совпадать, тогда прямые накладываются друг на друга и все их точки совпадают.

2. Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой (\(М \notin а\)), можно провести на плоскости только одну прямую (\(М \in b)\), параллельную данной (\(a\| b\)):

ОТРЕЗОК:

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Например BC, CD и BD – это отрезки, лежащие на прямой а. Прямую можно продлевать бесконечно в обе стороны, а отрезки - нет.

Каждый отрезок имеет свою длину, это значит, что отрезки можно сравнивать. Зная их длину, можно сказать, какой отрезок больше, а какой меньше. Отрезки называются равными, если у них одинаковая длина.

Сравнить длину можно, если мы уже знаем, чему равна длина каждого отрезка (например, измерили линейкой) или путем наложения: если один отрезок наложить на другой, то одинаковые отрезки совпадут. Равные отрезки отмечаются одинаковым количеством черточек (АВ=СD):

ЛУЧ:

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой. Можно взять любую точку (М) на прямой (а), и, если бесконечно продлевать её только в одну сторону от этой точки, как раз получим луч.

Аксиома: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Аксиома: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный заданному неразвернутому углу, и притом только один.

Эти аксиомы позволяют сравнивать отрезки и углы в привычном нам формате рассуждений (через наложение отрезков и углов друг на друга).

УГОЛ:

Угол - фигура, состоящая из точки (вершины угла) и двух различных лучей, исходящих из этой точки (сторон угла).


Углы обозначаются греческими буквами

(\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\ldots\)), либо по точкам, которые принадлежат лучам (сторонам угла). Например, угол α состоит из двух лучей ОА и ОВ, исходящие из одной вершины – точки О. Значит угол α может назвать углом О (\(\angle\)О) или углом АОВ (\(\angle\)АОВ)

Виды углов:

В зависимости от градусной величины выделяют 4 вида углов.

  • Острый угол ( \(\alpha < 90⁰\) )

  • Прямой угол ( \(\beta = 90⁰\) )

  • Тупой угол ( \(\gamma > 90{^\circ}\) )

  • Развернутый угол ( \(\alpha = 180{^\circ}\) )

    Если два луча, которые образуют угол, лежат на одной прямой, то тогда такой угол равен 180⁰ и называется развернутым.

Биссектриса угла:

Биссектриса – это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Например:

OL – биссектриса угла AOB. Значит \(\angle\)AOL = \(\angle\)LOB. Равные углы обозначаются одинаковым количеством черточек у вершины угла.

Важно помнить, что любая точка биссектрисы равноудалена (находится на равном расстоянии) от сторон угла.