Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Экстремумы Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Графики тригонометрических функций
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг
Планиметрия
Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Симметрия Прямоугольник Квадрат Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Биссектриса Равенство фигур Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Движения Площадь круга и сектора круга Медиана Ромб Четыре замечательные точки треугольника Площади четырёхугольников Векторы Теорема синусов и теорема косинусов Высота Трапеция Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Подобие фигур Многоугольники Отношения в геометрии Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Серединный перпендикуляр Виды треугольников
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Множества Метод математической индукции Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой
Стереометрия
Метод координат в пространстве Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Сечения в многогранниках Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол

Методы решения уравнений

Затронем самую насущную тему школьной математики – уравнения! Всего есть множество видов уравнений, например, линейные, квадратные, тригонометрические, показательные и другие. Но есть универсальные способы решения всех типов. И цель нашего урока разобрать метод замены, способ группировки, а также не знакомый многим метод монотонности.

Способ группировки

Способ группировки предполагает разложить многочлен на множители, но предварительно объединить между собой попарно слагаемые.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее:

\(ax + 2a - 3x - 6\)

  1. Записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.

\((ax - 3x) + (2a - 6)\)

  1. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.

\(x(a - 3) + 2(a - 3)\)

  1. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

\((a - 3)(x + 2)\)

Применим данные знания на примере тригонометрического уравнения, поскольку уметь видеть и раскладывать на множители способом группировки важно в любых видах уравнений.

Задание №1.

Решите уравнение: \(\sin{2x} + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}\)

Решение.

Для начала, давайте проанализируем слагаемые этого уравнения. Видим, что имеются функции разного типа – Синус и Косинус и аргумент в первом слагаемом 2x отличается от остальных в два раза.

  • Перенесем все в левую часть.

\(\sin{2x} + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0\)

  • По формуле синуса двойного угла преобразуем первое слагаемое для того, чтобы иметь одинаковые аргументы.

\(2\sin x\cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0\)

  • А теперь постараемся объединить пары и вынести общие множители в каждой скобке.

\(\left( 2\sin x\cos x + 2\sin x \right) + ( - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3}) = 0\)

  • Заметим, что из первой скобки можно вынести \(2\sin x\), а из второй \(- \sqrt{3}\).

\(2\sin x\left( \cos x + 1 \right) - \sqrt{3}(\cos x + 1) = 0\)

  • У нас получился общий многочлен, который мы снова вынесем за скобки и получим два множителя.

\(\left( \cos x + 1 \right)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0\)

  • Далее стандартным способом решим данное уравнение, то есть приравняем сначала первую скобку к нулю, а затем и вторую.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \cos x + 1 = 0 \\ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

  • Решим два уравнения и найдем корни.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \cos x + 1 = 0 \\ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \overset{\Leftrightarrow}{\ }\left\lbrack \begin{matrix} \cos x = - 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \overset{\Leftrightarrow}{\ }\)

\(\left\lbrack \begin{matrix} x = \pi + 2\pi n,\ n\epsilon Z \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z \\ \end{matrix} \right.\ \)

Таким образом, мы во время решения тригонометрического уравнения использовали способ группировки. Группировать слагаемые мы можем самым разнообразным способом: по парам, как мы это сделали в примере, по тройкам, используя формулы сокращенного умножения или просто выносом за скобки. Группировкой можно пользоваться в самых разных типах уравнений.

Ответ: \(x = \pi + 2\pi n,\ n\epsilon Z;\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z;\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z.\)

Метод замены переменной

  • Вводить новую переменную рационально для упрощения уравнения, поэтому сначала нужно заметить повторяющийся элемент.

  • Во время замены необходимо указывать дополнительные условия для новой переменной, так как могут быть самые различные ограничения в зависимости от уравнения.

  • Далее мы получаем более простое уравнение, которое быстро решаем, и возвращаемся к исходной переменной.

  • В конце решаем еще раз уравнение относительно первоначальной переменной и получаем корни.

Задание №2.

Решите уравнение: \(2{\log^{2}}_{2}{(x)} - 3\log_{2}\left( 2x \right) + 4 = 0\)

Решение.

  • Запишем ОДЗ. Всегда помним про этот шаг.

\(x > 0\)

  • Замену вводить пока рано, так как во втором слагаемом аргументом является 2x, а не x, как в первом. Поэтому воспользуемся свойством суммы логарифмов и разложим слагаемое на 2.

\(2{\log^{2}}_{2}{(x)} - 3(\log_{2}2 + \log_{2}x) + 4 = 0\)

  • Логарифм двух по основанию два это единица, значит, получим следующий вид.

\(2{\log^{2}}_{2}{(x)} - 3 - 3\log_{2}x + 4 = 0\)

  • Теперь мы имеем повторяющиеся элементы, это является подсказкой для введения замены. Но в целом, изначально мы могли обратить внимание на то, что уравнение похоже на квадратное, а значит, это сигнал на введение замены.

\(t = \log_{2}x\)

  • В данном случае никаких ограничений у нас нет. Запишем уравнение с новой переменной.

\(2t^{2} - 3t + 1 = 0\)

  • Решим его и получим значения.

\(t = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t = \frac{1}{2}\)

  • Переходим к обратной замене.

\(\log_{2}x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \log_{2}x = \frac{1}{2}\)

  • И получаем корни.

\(x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \sqrt{2}\)

Вот и все решение. Мы применили свойство логарифмов и метод замены. В данном примере удалось заменить целый логарифм. Бывает так, что можно заменить тригонометрическую функцию, например, Косинус, Синус, Тангенс или показательную функцию, если она фигурирует в уравнении несколько раз с одинаковым основанием. Более того можно заменять целые одинаковые выражения, они обычно в уравнениях стоят в скобках.

Ответ: \(x = 2,\ x = \sqrt{2}\)

Метод монотонности

Метод монотонности используется, когда работа стандартными способами: метод замены, разложение на множители и т.д. не приводят к успеху.

Данный метод предполагает представление выражений, которые стоят слева и справа в виде функций, и поиск точки их пересечения. Как правило, такая точка находится подбором, но этого мало, нужно показать, почему данная точка только одна. А показать мы это можем с помощью графиков или знаний о возрастании/убывании функций.

Задание №3.

Решите уравнение: \(4^{x} = 5 - x\)

Решение.

  • Видим, что слева от знака равенства у нас показательная функция, а справа линейная.

\(y_{1} = 4^{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }y_{2} = 5 - x\)

  • Так как основание показательной функции больше единицы, то она возрастает.

А у линейной функции коэффициент k отрицательный, значит, функция убывает.

Для большей наглядности можно изобразить данные два графика на координатной плоскости.

  • Для монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций не может более одного пересечения, а значит, более одного решения уравнения.

Работать будем подбором, так как в подобных заданиях всегда ответом является целое число, то начнем с единицы.

\(4^{1} = 5 - 1\)

\(4 = 4\)

Как быстро мы попали в точку! Ответом будет просто единица. Вот и все решение. Данный способ можно применять, если у нас по разные стороны от «знака» стоят функции, которые постоянно возрастают или убывают. Также может встретиться сумма постоянно возрастающих/убывающих функций, в таком случае график общей функции будет тоже либо постоянно возрастать, либо убывать.

Ответ: 1.

Пользуясь данными способами, можно решить практически любое уравнение разного вида, в этом мы убедились сегодня на примерах тригонометрического, логарифмического и показательного уравнений. Рассмотрели: способ группировки; метод замены переменной; метод монотонности.