Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Однородные уравнения Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения
Анализ функций
Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Смысл производной Интеграл Правила дифференцирования
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Квадрат Комбинации с окружностью Средняя линия Подобие фигур Равенство фигур Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Простейшие расстояния на плоскости Трапеция Векторы Отношения в геометрии Медиана Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Высота Теорема Пифагора Площади четырёхугольников Ромб Метод координат на плоскости Прямые и углы на плоскости Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Симметрия Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Движения Виды треугольников Многоугольники Параллелограммы
Реальная математика
Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Основы комбинаторики Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Пирамиды Двугранный угол Призмы Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости

Методы решения уравнений

Затронем самую насущную тему школьной математики – уравнения! Всего есть множество видов уравнений, например, линейные, квадратные, тригонометрические, показательные и другие. Но есть универсальные способы решения всех типов. И цель нашего урока разобрать метод замены, способ группировки, а также не знакомый многим метод монотонности.

Способ группировки

Способ группировки предполагает разложить многочлен на множители, но предварительно объединить между собой попарно слагаемые.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее:

\(ax + 2a - 3x - 6\)

  1. Записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.

\((ax - 3x) + (2a - 6)\)

  1. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.

\(x(a - 3) + 2(a - 3)\)

  1. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

\((a - 3)(x + 2)\)

Применим данные знания на примере тригонометрического уравнения, поскольку уметь видеть и раскладывать на множители способом группировки важно в любых видах уравнений.

Задание №1.

Решите уравнение: \(\sin{2x} + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}\)

Решение.

Для начала, давайте проанализируем слагаемые этого уравнения. Видим, что имеются функции разного типа – Синус и Косинус и аргумент в первом слагаемом 2x отличается от остальных в два раза.

  • Перенесем все в левую часть.

\(\sin{2x} + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0\)

  • По формуле синуса двойного угла преобразуем первое слагаемое для того, чтобы иметь одинаковые аргументы.

\(2\sin x\cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0\)

  • А теперь постараемся объединить пары и вынести общие множители в каждой скобке.

\(\left( 2\sin x\cos x + 2\sin x \right) + ( - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3}) = 0\)

  • Заметим, что из первой скобки можно вынести \(2\sin x\), а из второй \(- \sqrt{3}\).

\(2\sin x\left( \cos x + 1 \right) - \sqrt{3}(\cos x + 1) = 0\)

  • У нас получился общий многочлен, который мы снова вынесем за скобки и получим два множителя.

\(\left( \cos x + 1 \right)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0\)

  • Далее стандартным способом решим данное уравнение, то есть приравняем сначала первую скобку к нулю, а затем и вторую.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \cos x + 1 = 0 \\ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

  • Решим два уравнения и найдем корни.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \cos x + 1 = 0 \\ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \overset{\Leftrightarrow}{\ }\left\lbrack \begin{matrix} \cos x = - 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \overset{\Leftrightarrow}{\ }\)

\(\left\lbrack \begin{matrix} x = \pi + 2\pi n,\ n\epsilon Z \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z \\ \end{matrix} \right.\ \)

Таким образом, мы во время решения тригонометрического уравнения использовали способ группировки. Группировать слагаемые мы можем самым разнообразным способом: по парам, как мы это сделали в примере, по тройкам, используя формулы сокращенного умножения или просто выносом за скобки. Группировкой можно пользоваться в самых разных типах уравнений.

Ответ: \(x = \pi + 2\pi n,\ n\epsilon Z;\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z;\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\epsilon Z.\)

Метод замены переменной

  • Вводить новую переменную рационально для упрощения уравнения, поэтому сначала нужно заметить повторяющийся элемент.

  • Во время замены необходимо указывать дополнительные условия для новой переменной, так как могут быть самые различные ограничения в зависимости от уравнения.

  • Далее мы получаем более простое уравнение, которое быстро решаем, и возвращаемся к исходной переменной.

  • В конце решаем еще раз уравнение относительно первоначальной переменной и получаем корни.

Задание №2.

Решите уравнение: \(2{\log^{2}}_{2}{(x)} - 3\log_{2}\left( 2x \right) + 4 = 0\)

Решение.

  • Запишем ОДЗ. Всегда помним про этот шаг.

\(x > 0\)

  • Замену вводить пока рано, так как во втором слагаемом аргументом является 2x, а не x, как в первом. Поэтому воспользуемся свойством суммы логарифмов и разложим слагаемое на 2.

\(2{\log^{2}}_{2}{(x)} - 3(\log_{2}2 + \log_{2}x) + 4 = 0\)

  • Логарифм двух по основанию два это единица, значит, получим следующий вид.

\(2{\log^{2}}_{2}{(x)} - 3 - 3\log_{2}x + 4 = 0\)

  • Теперь мы имеем повторяющиеся элементы, это является подсказкой для введения замены. Но в целом, изначально мы могли обратить внимание на то, что уравнение похоже на квадратное, а значит, это сигнал на введение замены.

\(t = \log_{2}x\)

  • В данном случае никаких ограничений у нас нет. Запишем уравнение с новой переменной.

\(2t^{2} - 3t + 1 = 0\)

  • Решим его и получим значения.

\(t = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t = \frac{1}{2}\)

  • Переходим к обратной замене.

\(\log_{2}x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \log_{2}x = \frac{1}{2}\)

  • И получаем корни.

\(x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \sqrt{2}\)

Вот и все решение. Мы применили свойство логарифмов и метод замены. В данном примере удалось заменить целый логарифм. Бывает так, что можно заменить тригонометрическую функцию, например, Косинус, Синус, Тангенс или показательную функцию, если она фигурирует в уравнении несколько раз с одинаковым основанием. Более того можно заменять целые одинаковые выражения, они обычно в уравнениях стоят в скобках.

Ответ: \(x = 2,\ x = \sqrt{2}\)

Метод монотонности

Метод монотонности используется, когда работа стандартными способами: метод замены, разложение на множители и т.д. не приводят к успеху.

Данный метод предполагает представление выражений, которые стоят слева и справа в виде функций, и поиск точки их пересечения. Как правило, такая точка находится подбором, но этого мало, нужно показать, почему данная точка только одна. А показать мы это можем с помощью графиков или знаний о возрастании/убывании функций.

Задание №3.

Решите уравнение: \(4^{x} = 5 - x\)

Решение.

  • Видим, что слева от знака равенства у нас показательная функция, а справа линейная.

\(y_{1} = 4^{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }y_{2} = 5 - x\)

  • Так как основание показательной функции больше единицы, то она возрастает.

А у линейной функции коэффициент k отрицательный, значит, функция убывает.

Для большей наглядности можно изобразить данные два графика на координатной плоскости.

  • Для монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций не может более одного пересечения, а значит, более одного решения уравнения.

Работать будем подбором, так как в подобных заданиях всегда ответом является целое число, то начнем с единицы.

\(4^{1} = 5 - 1\)

\(4 = 4\)

Как быстро мы попали в точку! Ответом будет просто единица. Вот и все решение. Данный способ можно применять, если у нас по разные стороны от «знака» стоят функции, которые постоянно возрастают или убывают. Также может встретиться сумма постоянно возрастающих/убывающих функций, в таком случае график общей функции будет тоже либо постоянно возрастать, либо убывать.

Ответ: 1.

Пользуясь данными способами, можно решить практически любое уравнение разного вида, в этом мы убедились сегодня на примерах тригонометрического, логарифмического и показательного уравнений. Рассмотрели: способ группировки; метод замены переменной; метод монотонности.