Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Множества
Стереометрия
Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Пирамиды Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах
Уравнения
Иррациональные уравнения Однородные уравнения Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Графическое применение производной Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Трапеция Ромб Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Квадрат Подобие фигур Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Виды треугольников Равенство фигур Окружнoсть и круг Симметрия Прямоугольник Параллелограммы Теорема Пифагора Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Многоугольники Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Движения Медиана Треугольники. Площади Метод координат на плоскости Средняя линия Биссектриса Площадь круга и сектора круга Элементы планиметрии Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Высота

Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Данный метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений позволяет наглядно определить подходящие углы без наложений друг на друга периодов (как это случается при работе с тригокругом), однако такой метод предполагает хорошие навыки работы с графиками тригофункций. Также при отборе корней этим методом нам не нужно разделять ответы на серии, достаточно посмотреть на этап решения уравнения, когда тригофункция равна числу, например \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ТРИГОФУНКЦИЙ

  1. Рисуем соответствующий график тригонометрической функции.

  2. Проводим прямые \(y = a\), параллельные оси Ox, где \(a\) – число, которому равна тригофункция.

  3. Отмечаем на графике промежуток, в котором нужно найти углы.

  4. Находим пересечение прямой \(y = a\) с графиком в точках, которые попадают в отмеченный промежуток. Записываем углы, которые им соответствуют – это будут значения из абсцисс.

Пример №1:

Найдите все корни уравнения

\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) , тогда построим график функции \(y = \sin x\):

  1. Проведем прямую \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}:\)

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\).

Пример №2:

Найдите все корни уравнения

\(tg\ x = - 1\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(tg\ x = - 1\) , тогда построим график функции \(y = \text{tg\ x}\):

  1. Проведем прямую \(y = - 1\):

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(- \frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\).