Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Графическое применение производной Интеграл
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Прямые и углы на плоскости Средняя линия Движения Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Многоугольники Треугольники. Площади Теорема Менелая и теорема Чевы Четыре замечательные точки треугольника Высота Биссектриса Медиана Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Метод координат на плоскости Векторы Элементы планиметрии Симметрия Прямоугольник Ромб Равенство фигур Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Квадрат Теорема Пифагора Трапеция Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по воде Комбинаторика Множества Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на сплавы и смеси Прикладные задачи Основы комбинаторики Текстовые задачи на проценты Метод математической индукции
Стереометрия
Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Призмы Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Движения в пространстве Метод координат в пространстве Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости
Уравнения
Однородные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Показательные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения

Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Данный метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений позволяет наглядно определить подходящие углы без наложений друг на друга периодов (как это случается при работе с тригокругом), однако такой метод предполагает хорошие навыки работы с графиками тригофункций. Также при отборе корней этим методом нам не нужно разделять ответы на серии, достаточно посмотреть на этап решения уравнения, когда тригофункция равна числу, например \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ТРИГОФУНКЦИЙ

  1. Рисуем соответствующий график тригонометрической функции.

  2. Проводим прямые \(y = a\), параллельные оси Ox, где \(a\) – число, которому равна тригофункция.

  3. Отмечаем на графике промежуток, в котором нужно найти углы.

  4. Находим пересечение прямой \(y = a\) с графиком в точках, которые попадают в отмеченный промежуток. Записываем углы, которые им соответствуют – это будут значения из абсцисс.

Пример №1:

Найдите все корни уравнения

\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) , тогда построим график функции \(y = \sin x\):

  1. Проведем прямую \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}:\)

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\).

Пример №2:

Найдите все корни уравнения

\(tg\ x = - 1\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(tg\ x = - 1\) , тогда построим график функции \(y = \text{tg\ x}\):

  1. Проведем прямую \(y = - 1\):

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(- \frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\).